Astar 2019 Transformation

题意

给出一个二元组\((a,b)\)

每一次可以将这个二元组变为\((2a-b,b)\)或\((a, 2b-a)\)，问是否能够通过\(\geq 0\)次操作将其变成\((c,d)\)

如果有，输出一组合法解。

\(T\leq 8\times10^4,-10^{18}\leq a,b,c,d \leq 10^{18}\)

解法

这题很巧妙（然而没想到）

但是考试时没调出来...细节有点多

考试以后看了\({\tt ZRZ}\)的代码重构了一下

我们可以发现，每次\((a,b)\)的长度都增加了一倍大小

如果用类似倍增的方法做就不太好判断

考虑倍增的逆过程，我们通过\((c,d)\)倒推出\((a,b)\)

考虑\((c,d)\)是由那些状态倒推过来的，推一下式子，我们发现它可以由\((\frac{c+d}{2},d)\)与\((c,\frac{c+d}{2})\)转移过来（首先默认\(a<b,c<d\)）

这就类似于一个二分的形式

于是我们每次对区间\((c,d)\)进行二分，观察区间\((a,b)\)是在其左子树还是右子树，并且进入它所在的子树（类似于线段树上二分的过程）

如果二分到一个区间与\((a,b)\)恰好重合，输出\({\tt Yes}\)与方案

否则输出\({\tt No}\)

但是在二分的过程中我们还有许多细节需要注意

首先，如果\((a,b)\)与\((c,d)\)的大小关系不对应，那么\((a,b)\)是一定无法转移到\((c,d)\)的，直接输出\({\tt No}\)

如果在转移过程中\(l>a\)或\(r<b\)那么在\((l,r)\)内二分一定无法完全覆盖到\((a,b)\)，直接返回输出\({\tt No}\)

如果\((l+r)\)是一个奇数，意味着它无法二分下去，反过来就一定无法被\((a,b)\)倍增得到（因为在这个过程中涉及到的数一定都是整数），直接返回输出\({\tt No}\)

代码

#include <cstdio>
#include <iostream>

using namespace std;

int T, cnt;
int st[100010];

int DFS(long long a, long long b, long long l, long long r) {
	if (a == l && b == r) return 1;
	if (l > a || r < b)	  return 0;
	if ((l + r) & 1)	  return 0;
	long long mid = l + r >> 1;
	if (a < mid) {
		st[++cnt] = 1;
		return DFS(a, b, l, mid);	
	} else {
		st[++cnt] = 0;
		return DFS(a, b, mid, r);	
	}
}

int main() {
	
	scanf("%d", &T);
	
	while (T--) {
		long long a, b, c, d;
		scanf("%lld%lld%lld%lld", &a, &b, &c, &d);
		
		int fl = 0;
		if (a > b)	
			swap(a, b), swap(c, d), fl = 1;
		
		if (c > d) {
			puts("No");
			continue;	
		}
				
		cnt = 0;
		if (DFS(a, b, c, d)) {
			puts("Yes");
			for (int i = cnt; i >= 1; --i) 
				putchar((st[i] ^ fl) ? 'A' : 'B');
			putchar('\n');
			
		} else puts("No");
	}
	
	return 0;
}