NOIP模拟83(多校16)
「树上的数·时代的眼泪·传统艺能·铺设道路」on 10.26
前言
CSP之后第一次模拟赛，感觉考的一般。
不得不吐槽多校联测 OJ 上的评测机是真的慢。。。
T1 树上的数
解题思路
感觉自己思维有些固化了，一看题目就感觉是线段树。
考完之后才想起来这玩意直接 DFS 一遍就行（大雾
然后就是卡常了，最后的结果就是时限 2s 的题本机 0.6s 才在OJ上过掉，我谔谔
果然迭代比递归快，所以直接 BFS 就可以减小常数了QAQ
code
#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define ull unsigned long long
#define f() cout<<"RP++"<<endl
using namespace std;
inline int read()
{
int x=0,f=1; char ch=getchar();
while(ch>'9'||ch<'0'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
while(ch>='0'&&ch<='9'){x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48);ch=getchar();}
return x*f;
}
const int N=5e6+10,base=19760817;
int n,m,A,B,X,Y,q,cnt,hd,tail,que[N];
int tot=1,head[N],ver[N],nxt[N];
bool vis[N];
ll ans;
inline void add_edge(int x,int y)
{
ver[++tot]=y;
nxt[tot]=head[x];
head[x]=tot;
}
int main()
{
freopen("tree.in","r",stdin); freopen("tree.out","w",stdout);
cnt=n=read(); m=read(); A=read(); B=read(); add_edge(1,2);
for(int i=3,temp=1;i<=n;i++) temp=((1ll*temp*A+B)^base)%(i-1)+1,add_edge(temp,i);
q=read(); X=read(); Y=read();
for(int i=1;i<=m;i++)
{
if(i!=1) q=(((1ll*q*X+Y)^base)^(i<<1))%(n-1)+2;
hd=1;tail=0;if(!vis[q]) que[++tail]=q;
while(hd<=tail)
{
int x=que[hd++]; vis[x]=true; cnt--;
for(int j=head[x];j;j=nxt[j])
if(!vis[ver[j]]) que[++tail]=ver[j];
}
ans^=cnt;
}
printf("%lld",ans);
return 0;
}
T2 时代的眼泪
解题思路
大概有一点换根 DP 的思想吧，但是还是卡常，吐了。
比较直接的思路就是先计算出以 1 为根的答案，然后求出每个点相对于父亲节点变化的答案。
主席树和线段树合并的复杂度都是对的，但是都会被卡常！！！
因此需要树状数组，我们需要的无非就是一个全局的，一个以某棵子树为根的答案嘛。。
对于全局总体的直接一个桶+前缀和，然后对于某颗子树的就可以用搜索子树之后的信息减去搜索子树之前的信息，这样就可以用上小常数的树状数组了。。
实测差距还是很大的，以后还是要注意常数问题啊。。
code
被卡成 90pts 的线段树合并
#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define ull unsigned long long
#define f() cout<<"RP++"<<endl
#define ls tre[x].l
#define rs tre[x].r
using namespace std;
inline int read()
{
int x=0,f=1;char ch=getchar();
while(ch>'9'||ch<'0'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
while(ch>='0'&&ch<='9'){x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48);ch=getchar();}
return x*f;
}
inline void write(int x)
{
return printf("%lld",x),void();
#define sta number
int sta[70],top=0; if(x<0) putchar('-'),x=~(x-1);
while(x) sta[++top]=x%10,x/=10; if(!top) sta[++top]=0;
while(top) putchar(sta[top--]+'0');
#undef sta
}
const int N=1e6+10;
int n,m,lim,all,cnt,root[N],s[N],fa[N];
int tot=1,head[N],ver[N<<1],nxt[N<<1];
struct Node{ll dat;int l,r;}tre[N*30];
vector<int> sta;
ll ans[N];
void add_edge(int x,int y)
{
ver[++tot]=y;
nxt[tot]=head[x];
head[x]=tot;
}
int New()
{
if(!sta.size()) return ++all;
int x=sta[sta.size()-1];
tre[x].dat=ls=rs=0;
return sta.pop_back(),x;
}
#define push_up(x) tre[x].dat=tre[ls].dat+tre[rs].dat;
inline void insert(int &x,int l,int r,int pos,int val)
{
if(!x) x=New();
if(l==r) return tre[x].dat+=val,void();
int mid=(l+r)>>1;
if(pos<=mid) insert(ls,l,mid,pos,val);
else insert(rs,mid+1,r,pos,val);
push_up(x);
}
inline int merge(int x,int y)
{
if(!x||!y) return x|y; tre[x].dat+=tre[y].dat; sta.push_back(y);
ls=merge(ls,tre[y].l); rs=merge(rs,tre[y].r); return x;
}
inline int query(int x,int l,int r,int L,int R)
{
if(!x||L>R) return 0;
if(L<=l&&r<=R) return tre[x].dat;
int mid=(l+r)>>1;ll sum=0;
if(L<=mid) sum+=query(ls,l,mid,L,R);
if(R>mid) sum+=query(rs,mid+1,r,L,R);
return sum;
}
void dfs(int x)
{
insert(root[x],1,lim,s[x],1);
for(int i=head[x];i;i=nxt[i])
{
if(ver[i]==fa[x]) continue; fa[ver[i]]=x; dfs(ver[i]);
root[x]=merge(root[x],root[ver[i]]),root[ver[i]]=0;
}
int temp=query(root[x],1,lim,1,s[x]-1); ans[1]+=temp; if(x==1) return ;
ans[x]-=temp+query(root[x],1,lim,1,s[fa[x]]-1);
}
void dfs2(int x){ans[x]+=ans[fa[x]]; for(int i=head[x];i;i=nxt[i]) if(ver[i]!=fa[x]) dfs2(ver[i]);}
int main()
{
freopen("tears.in","r",stdin); freopen("tears.out","w",stdout);
n=read(); m=read();
for(int i=1;i<=n;i++) s[i]=read(),lim=max(lim,s[i]);
for(int i=1,x,y;i<n;i++) x=read(),y=read(),add_edge(x,y),add_edge(y,x);
dfs(1); for(int i=2;i<=n;i++) ans[i]+=query(root[1],1,lim,1,s[i]-1);
dfs2(1); while(m--){int x;x=read();write(ans[x]);putchar('\n');}
return 0;
}
树状数组
#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define ull unsigned long long
#define f() cout<<"RP++"<<endl
#define ls tre[x].l
#define rs tre[x].r
using namespace std;
inline int read()
{
int x=0,f=1;char ch=getchar();
while(ch>'9'||ch<'0'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
while(ch>='0'&&ch<='9'){x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48);ch=getchar();}
return x*f;
}
inline void write(ll x)
{
#define sta number
int sta[70],top=0; if(x<0) putchar('-'),x=~(x-1);
while(x) sta[++top]=x%10,x/=10; if(!top) sta[++top]=0;
while(top) putchar(sta[top--]+'0');
#undef sta
}
const int N=1e6+10;
int n,m,lim,cnt,s[N],fa[N],lsh[N],pre[N];
int tot=1,head[N],ver[N<<1],nxt[N<<1];
struct BIT
{
int tre[N];
inline int lowbit(int x){return x&(-x);}
void insert(int x){for(int i=x;i<=lim;i+=lowbit(i))tre[i]++;}
int query(int x){int sum=0;for(int i=x;i>0;i-=lowbit(i))sum+=tre[i];return sum;}
}T;
ll ans[N];
void add_edge(int x,int y)
{
ver[++tot]=y;
nxt[tot]=head[x];
head[x]=tot;
}
void dfs(int x)
{
int tmp1=T.query(s[x]-1),tmp2=T.query(s[fa[x]]-1); T.insert(s[x]);
for(int i=head[x];i;i=nxt[i]) if(ver[i]!=fa[x]) fa[ver[i]]=x,dfs(ver[i]);
int temp=T.query(s[x]-1)-tmp1; ans[1]+=temp;
if(x!=1) ans[x]-=temp+T.query(s[fa[x]]-1)-tmp2;
}
void dfs2(int x){ans[x]+=ans[fa[x]]; for(int i=head[x];i;i=nxt[i]) if(ver[i]!=fa[x]) dfs2(ver[i]);}
int main()
{
freopen("tears.in","r",stdin); freopen("tears.out","w",stdout);
n=read(); m=read();
for(int i=1;i<=n;i++) s[i]=read(),lsh[++cnt]=s[i];
sort(lsh+1,lsh+cnt+1); lim=cnt=unique(lsh+1,lsh+cnt+1)-lsh-1;
for(int i=1;i<=n;i++) s[i]=lower_bound(lsh+1,lsh+cnt+1,s[i])-lsh,pre[s[i]]++;
for(int i=1;i<=cnt;i++) pre[i]+=pre[i-1];
for(int i=1,x,y;i<n;i++) x=read(),y=read(),add_edge(x,y),add_edge(y,x);
dfs(1); for(int i=2;i<=n;i++) ans[i]+=pre[s[i]-1];
dfs2(1); while(m--){int x;x=read();write(ans[x]);putchar('\n');}
return 0;
}
T3 传统艺能
解题思路
线段树维护矩阵乘的题目还是第一次做。。
对于一个以 A 结尾的矩阵，他的对角线都是 1 ，然后第一行也是 1 。 \(A_{i,j}\) 表示以 \(i\) 开头在结尾多一个 \(j\) 的答案，转移方程类似矩阵乘，原因显然。
线段树维护的每一个节点都是一个矩阵，每次区间查询单点修改即可。
code
#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
#define ull unsigned long long
#define f() cout<<"RP++"<<endl
#define ls x<<1
#define rs x<<1|1
using namespace std;
inline int read()
{
int x=0,f=1;char ch=getchar();
while(ch>'9'||ch<'0'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
while(ch>='0'&&ch<='9'){x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48);ch=getchar();}
return x*f;
}
const int N=1e5+10,mod=998244353;
int n,m;
char s[N];
struct Square
{
int a[4][4];
void clear(){memset(a,0,sizeof(a));}
Square friend operator * (Square x,Square y)
{
Square z; z.clear();
for(int i=0;i<=3;i++) for(int j=0;j<=3;j++) for(int k=0;k<=3;k++) z.a[i][j]+=x.a[i][k]*y.a[k][j];
for(int i=0;i<=3;i++) for(int j=0;j<=3;j++) z.a[i][j]%=mod; return z;
}
}S[4];
struct Segment_Tree
{
Square tre[N<<2];
#define push_up(x) tre[x]=tre[ls]*tre[rs];
void update(int x,int l,int r,int pos,int val)
{
if(l==r) return tre[x]=S[val],void();
int mid=(l+r)>>1;
if(pos<=mid) update(ls,l,mid,pos,val);
else update(rs,mid+1,r,pos,val);
push_up(x);
}
Square query(int x,int l,int r,int L,int R)
{
if(L<=l&&r<=R) return tre[x]; int mid=(l+r)>>1;
if(L<=mid&&R>mid) return query(ls,l,mid,L,R)*query(rs,mid+1,r,L,R);
if(L<=mid) return query(ls,l,mid,L,R); return query(rs,mid+1,r,L,R);
}
}T;
#undef int
int main()
{
#define int long long
freopen("string.in","r",stdin); freopen("string.out","w",stdout);
n=read(); m=read(); scanf("%s",s+1);
for(int i=0;i<=3;i++) S[1].a[i][i]=S[2].a[i][i]=S[3].a[i][i]=1;
for(int i=0;i<=3;i++) S[1].a[1][i]=S[2].a[2][i]=S[3].a[3][i]=1;
for(int i=1;i<=n;i++) T.update(1,1,n,i,s[i]-'A'+1);
while(m--)
{
int opt,l,r,p,ans=0; char ch; opt=read();
if(opt==1){p=read();ch=getchar();T.update(1,1,n,p,ch-'A'+1);continue;}
l=read(); r=read(); Square temp=T.query(1,1,n,l,r);
for(int i=1;i<=3;i++) ans=(ans+temp.a[i][0])%mod; printf("%lld\n",ans);
}
return 0;
}
T4 铺设道路
解题思路
维护一个差分数组，最后消成 0 。
显然的时间就是 \(\sum\limits_{i=1}^n\max(0,s_i)\)
为了让答案尽可能的大，我们需要对于每个点消除距离最近的点，把较远的留给后面。
对于让答案尽可能小的情况反之。
code
#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
#define ull unsigned long long
#define f() cout<<"RP++"<<endl
using namespace std;
inline int read()
{
int x=0,f=1;char ch=getchar();
while(ch>'9'||ch<'0'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
while(ch>='0'&&ch<='9'){x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48);ch=getchar();}
return x*f;
}
const int N=3e5+10,mod=1e9+7;
int n,tim,maxn,minn,head,tail,s[N];
pair<int,int> q[N];
void add(int &x,int y){x+=y;if(x>=mod)x-=mod;}
#undef int
int main()
{
#define int long long
freopen("road.in","r",stdin); freopen("road.out","w",stdout);
n=read(); for(int i=1,pre=0;i<=n;i++) s[i]=read()-pre,pre+=s[i],tim+=max(0ll,s[i]);
head=1; tail=0;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
if(s[i]>0){q[++tail]=make_pair(i,s[i]);continue;}
int temp=s[i];
while(temp<0)
{
int x=q[head].first,val=q[head].second;
if(val<=-temp){head++;temp+=val;add(minn,val*(i-x)%mod*(i-x)%mod);continue;}
q[head]=make_pair(x,val+temp); add(minn,-temp*(i-x)%mod*(i-x)%mod); break;
}
}
while(head<=tail) add(minn,q[head].second*(n-q[head].first+1)%mod*(n-q[head].first+1)%mod),head++; head=1; tail=0;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
if(s[i]>0){q[++tail]=make_pair(i,s[i]);continue;}
int temp=s[i];
while(temp<0)
{
int x=q[tail].first,val=q[tail].second;
if(val<=-temp){tail--;temp+=val;add(maxn,val*(i-x)%mod*(i-x)%mod);continue;}
q[tail]=make_pair(x,val+temp); add(maxn,-temp*(i-x)%mod*(i-x)%mod); break;
}
}
while(head<=tail) add(maxn,q[head].second*(n-q[head].first+1)%mod*(n-q[head].first+1)%mod),head++;
printf("%lld\n%lld\n%lld",tim,maxn,minn); return 0;
}
