7.17考试总结(NOIP模拟18)[导弹袭击·炼金术士的疑惑·老司机的狂欢]
问灵十三载，等一不归人。
前言
这回考试全靠 T2 了，别的基本上没分（菜）
总感觉最近进度有亿点快，每天都在补坑，每天都在留坑。。。。
T1 导弹袭击
解题思路
因为这个题的两种长度是不一定的，因此，显然什么二分枚举都不对了。
通过细致阅读题目，我们可以得到一种 60pts 的做法：
通过 \(n^2\) 枚举任意两种导弹的较另一种时间的临界值，近而求出一个范围。
判断两个范围是否有交集就好了，大概就是下面这个柿子（假设想让 1 较于 2 更优）
-
\(\dfrac{L_A}{L_B}\le \dfrac{a_1\times a_2 \times (b_1-b_2)}{b_1 \times b_2\times (a_2-a_1)}(a_1>a_2)\)
-
\(\dfrac{L_A}{L_B}\ge \dfrac{a_1\times a_2 \times (b_1-b_2)}{b_1 \times b_2\times (a_2-a_1)}(a_1<a_2)\)
并且，我们还可以缩小一下值域，对于在相同的 a，b 不是最大的，或者相同的 b，a 不是最大的，都可以直接干掉。
正解的思路大同小异，把 \((\dfrac{1}{a_i},\dfrac{1}{b_i})\) 当作坐标系里面的一个点，用凸包维护斜率。
code
60pts
#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
inline int read()
{
int x=0,f=1;
char ch=getchar();
while(ch>'9'||ch<'0')
{
if(ch=='-') f=-1;
ch=getchar();
}
while(ch>='0'&&ch<='9')
{
x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48);
ch=getchar();
}
return x*f;
}
const int N=3e5+10,INF=1e9;
int n,cnt,a[N],b[N];
map<int,int>maxa,maxb;
bool vis[N];
struct Node
{
double a,b;
int id;
}s[N];
bool comp(Node x,Node y)
{
return x.a<y.a;
}
signed main()
{
n=read();
for(int i=1;i<=n;i++)
{
a[i]=read();
b[i]=read();
maxa[a[i]]=max(maxa[a[i]],b[i]);
maxb[b[i]]=max(maxb[b[i]],a[i]);
}
for(int i=1;i<=n;i++)
{
if(maxa[a[i]]==b[i]&&maxb[b[i]]==a[i])
s[++cnt]=(Node){a[i],b[i],i};
}
sort(s+1,s+cnt+1,comp);
for(int i=1;i<=cnt;i++)
{
bool jud=false;
double l=0,r=INF;
for(int j=1;j<i;j++)
l=max(l,s[i].a*s[j].a*(s[i].b-s[j].b)/(s[i].b*s[j].b*(s[j].a-s[i].a)));
for(int j=i+1;j<=cnt;j++)
{
if(s[i].b<s[j].b)
{
jud=true;
break;
}
r=min(r,s[i].a*s[j].a*(s[i].b-s[j].b)/(s[i].b*s[j].b*(s[j].a-s[i].a)));
}
if(l>r||l<0||r<0) jud=true;
vis[s[i].id]=jud^1;
}
for(int i=1;i<=n;i++)
if(vis[i])
cout<<i<<' ';
return 0;
}
正解
#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
#define double long double
using namespace std;
inline int read()
{
int x=0,f=1;
char ch=getchar();
while(ch>'9'||ch<'0')
{
if(ch=='-') f=-1;
ch=getchar();
}
while(ch>='0'&&ch<='9')
{
x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48);
ch=getchar();
}
return x*f;
}
const int N=3e5+10,INF=1e9;
int n,cnt,a[N],b[N];
int top,sta[N];
double k[N];
vector<int> v[N];
bool vis[N];
struct Node
{
double a,b;
int id;
}s[N];
bool comp(Node x,Node y)
{
if(x.a!=y.a) return x.a>y.a;
return x.b>y.b;
}
double K(int i,int j)
{
return s[i].a*s[j].a*(s[j].b-s[i].b)/(s[i].b*s[j].b*(s[j].a-s[i].a));
}
signed main()
{
int rx,ry=0;
n=read();
for(int i=1;i<=n;i++)
{
s[i].a=read();
s[i].b=read();
s[i].id=i;
if(ry<s[i].b||(ry==s[i].b&&rx<s[i].a))
ry=s[i].b,rx=s[i].a;
}
sort(s+1,s+n+1,comp);
sta[++top]=1;
v[1].push_back(s[1].id);
for(int i=2;i<=n&&rx<=s[i].a;i++)
{
if(s[i].a==s[sta[top]].a)
{
if(s[i].b==s[sta[top]].b)
v[sta[top]].push_back(s[i].id);
continue;
}
v[i].push_back(s[i].id);
while(top>1&&k[sta[top]]>K(sta[top],i)) top--;
k[i]=K(sta[top],i);
sta[++top]=i;
}
for(int i=1;i<=top;i++)
for(int j=0;j<v[sta[i]].size();j++)
vis[v[sta[i]][j]]=true;
for(int i=1;i<=n;i++)
if(vis[i])
printf("%lld ",i);
return 0;
}
T2 炼金术士的疑惑
解题思路
比较水的一个题，基本上都能一眼看出是高斯消元。
无非就是把方程右边的柿子移一下项。
对于已知方程直接消元再卡一下精度就可以得到 90pts 的巨额分数。
100pts 的做法其实就是把问题方程也放进去一起消，但是不要换到上面去。
最后问题柿子的结果取个相反数就是答案了。。（真没啥好说的）
code
90pts（可能消元方法有点诡异）
#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
const int N=210,M=1e3+10;
int n,cnt;
double num,answer,s[N][M],ans[N],q[N],val[N];
string ch,opt;
map<string,int> ma;
inline int read()
{
scanf("%lld",&n);
for(int i=1;i<=n;i++)
{
// cout<<i<<endl;
scanf("%lf",&num);
cin>>ch;
// cout<<ch<<endl;
if(!ma[ch]) ma[ch]=++cnt;
s[i][ma[ch]]=num;
do
{
cin>>opt;
// cout<<opt<<endl;
if(opt[0]=='=') break;
scanf("%lf",&num);
cin>>ch;
// cout<<ch<<endl;
if(!ma[ch]) ma[ch]=++cnt;
s[i][ma[ch]]=num;
}while(opt[0]!='=');
// cout<<i<<endl;
scanf("%lf",&num);
// cin>>num;
// cout<<num<<endl;
cin>>ch;
// cout<<ch<<endl;
if(!ma[ch]) ma[ch]=++cnt;
s[i][ma[ch]]=-num;
do
{
cin>>opt;
// cout<<opt<<endl;
if(opt[0]=='H') break;
scanf("%lf",&num);
cin>>ch;
// cout<<ch<<endl;
if(!ma[ch]) ma[ch]=++cnt;
s[i][ma[ch]]=-num;
}while(opt[0]!='H');
scanf("%lf",&ans[i]);
}
for(int i=1;i<=n;i++)
s[i][cnt+1]=ans[i];
scanf("%lf",&num);
cin>>ch;
if(!ma[ch]) ma[ch]=++cnt;
q[ma[ch]]=num;
do
{
cin>>opt;
if(opt[0]=='=') break;
scanf("%lf",&num);
cin>>ch;
if(!ma[ch]) ma[ch]=++cnt;
q[ma[ch]]=num;
}while(opt[0]!='=');
scanf("%lf",&num);
cin>>ch;
if(!ma[ch]) ma[ch]=++cnt;
q[ma[ch]]=-num;
do
{
cin>>opt;
if(opt[0]=='H') break;
scanf("%lf",&num);
cin>>ch;
if(!ma[ch]) ma[ch]=++cnt;
q[ma[ch]]=-num;
}while(opt[0]!='H');
}
void check()
{
for(int i=1;i<=n;i++)
{
for(int j=1;j<=cnt+1;j++)
cout<<s[i][j]<<' ';
cout<<endl;
}
for(int j=1;j<=cnt;j++)
cout<<q[j]<<' ';
}
void gaosi()
{
for(int i=1;i<=n;i++)
{
int pos=0;
for(int j=1;j<=cnt;j++)
if(s[i][j])
{
pos=j;
break;
}
if(s[i][pos]!=1&&s[i][pos])
{
double temp=s[i][pos];
for(int j=pos;j<=cnt+1;j++)
s[i][j]/=temp;
}
for(int j=i+1;j<=n;j++)
{
if(!s[j][pos])
continue;
double temp=s[j][pos];
for(int k=pos;k<=cnt+1;k++)
s[j][k]-=s[i][k]*temp;
}
}
for(int i=n;i>=2;i--)
{
int pos=0;
for(int j=1;j<=cnt;j++)
if(s[i][j])
{
pos=j;
break;
}
if(s[i][pos]!=1&&s[i][pos])
{
double temp=s[i][pos];
for(int j=pos;j<=cnt+1;j++)
s[i][j]/=temp;
}
for(int j=1;j<i;j++)
{
if(!s[j][pos])
continue;
double temp=s[j][pos];
for(int k=pos;k<=cnt+1;k++)
s[j][k]-=s[i][k]*temp;
}
}
}
void solve()
{
gaosi();
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=1;j<=cnt;j++)
if(s[i][j])
{
val[j]=s[i][cnt+1];
break;
}
for(int i=1;i<=cnt;i++)
answer+=q[i]*val[i];
answer*=10;
answer+=1e-6;
printf("%.1lf",answer/10.0);
}
signed main()
{
read();
solve();
return 0;
}
正解
#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
const int N=210,M=1e3+10;
int n,cnt;
double num,answer,s[N][M],ans[N],q[N],val[N];
string ch,opt;
map<string,int> ma;
inline int read()
{
scanf("%lld",&n);
n++;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
scanf("%lf",&num);
cin>>ch;
if(!ma[ch]) ma[ch]=++cnt;
s[i][ma[ch]]=num;
do
{
cin>>opt;
if(opt[0]=='=') break;
scanf("%lf",&num);
cin>>ch;
if(!ma[ch]) ma[ch]=++cnt;
s[i][ma[ch]]=num;
}while(opt[0]!='=');
scanf("%lf",&num);
cin>>ch;
if(!ma[ch]) ma[ch]=++cnt;
s[i][ma[ch]]=-num;
do
{
cin>>opt;
if(opt[0]=='H') break;
scanf("%lf",&num);
cin>>ch;
if(!ma[ch]) ma[ch]=++cnt;
s[i][ma[ch]]=-num;
}while(opt[0]!='H');
if(i!=n) scanf("%lf",&ans[i]);
}
for(int i=1;i<n;i++)
s[i][cnt+1]=ans[i];
}
void gaosi()
{
for(int i=1,j=1;i<n&&j<=cnt;i++,j++)
{
int maxn=i;
for(int k=i+1;k<=n-1;k++)
if(fabs(s[k][j])>fabs(s[maxn][j]))
maxn=k;
if(maxn!=i)
for(int k=1;k<=cnt+1;k++)
swap(s[maxn][k],s[i][k]);
if(!fabs(s[i][j]))
{
i--;
continue;
}
for(int k=i+1;k<=n;k++)
if(fabs(s[k][j]))
{
double temp=s[k][j]/s[i][j];
for(int l=j;l<=cnt+1;l++)
s[k][l]-=s[i][l]*temp;
}
}
}
void solve()
{
gaosi();
printf("%.1lf",-s[n][cnt+1]+1e-12);
}
signed main()
{
read();
solve();
return 0;
}
T3 老司机的狂欢
解题思路
这可真是个阴间题，第一问还比较人性，第二问就变态。
大体思路都是对于序列进行树状数组进行优化。
对于第一问，一看 86400 ，就是二分答案就好了。
对于 \(x(i)<x(j)\) 的情况，需要满足 \(x(i)+\dfrac {a(i)\times t^2}{2} < x(j)+\dfrac {a(j)\times t^2}{2}\)
这好像就是普普通通的物理公式了吧。
那么把x离散作为数组下标，t时间后的位置作为值，合法的最多人数为最长上升子序列。
将t时间后的位置再次离散,并且用树状数组维护。
第二问与第一问差不多，其实就是在模拟第一问的过程，然后记录下最优的 id 。
考虑dp的转移;一个点只能有他之前的一个点转移过来，所以是一个树形结构。
设f[j]=f[k]且都可以转移到i，那么考虑转移的树形结构，j，k处于同一深度，且lca及以上的序列相同。
当j->lca这条路径上的最小值小于k->lca这条路径的最小值时j比k更优。
那么只要倍增维护前驱及最小值即可，同样也是用树状数组进行维护。
code
#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
inline int read()
{
int x=0,f=1;
char ch=getchar();
while(ch>'9'||ch<'0')
{
if(ch=='-') f=-1;
ch=getchar();
}
while(ch>='0'&&ch<='9')
{
x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48);
ch=getchar();
}
return x*f;
}
const int N=1e5+10;
int n,m,tim=1,now,tre[N],a[N],lsh[N];
int f[N][25],minn[N][25],ans[N];
pair<int,int> tr[N];
struct Node
{
int x,a,id;
}s[N];
bool comp(Node x,Node y)
{
return x.x<y.x;
}
int lowbit(int x)
{
return x&(-x);
}
void eadd(int x,int num)
{
for(int i=x;i<=n;i+=lowbit(i))
tre[i]=max(tre[i],num);
}
int eask(int x)
{
int maxn=0;
for(int i=x;i>0;i-=lowbit(i))
maxn=max(maxn,tre[i]);
return maxn;
}
bool check(int x)
{
memset(tre,0,sizeof(tre));
for(int i=1;i<=n;i++)
lsh[i]=a[i]=s[i].a*x*x+2*s[i].x;
sort(lsh+1,lsh+n+1);
for(int i=1;i<=n;i++)
{
a[i]=lower_bound(lsh+1,lsh+n+1,a[i])-lsh;
eadd(a[i],eask(a[i]-1)+1);
}
now=eask(n);
return now>=m;
}
void Get_tim()
{
sort(s+1,s+n+1,comp);
int l=1,r=86400;
while(l<=r)
{
int mid=(l+r)>>1;
if(check(mid))
{
l=mid+1;
tim=mid;
}
else r=mid-1;
}
check(tim);
printf("%lld\n",tim);
if(now>m)
{
printf("-1");
exit(0);
}
}
bool judge(pair<int,int> x,pair<int,int> y)
{
if(x.first!=y.first)
return x.first<y.first;
int minx=x.second,miny=y.second,x2=x.second,y2=y.second;
for(int i=20;i>=0;i--)
if(f[x2][i]!=f[y2][i])
{
minx=min(minx,minn[x2][i]);
miny=min(miny,minn[y2][i]);
x2=f[x2][i];
y2=f[y2][i];
}
return minx>miny;
}
void add(int x,pair<int,int> val)
{
for(int i=x;i<=n;i+=lowbit(i))
if(judge(tr[i],val))
tr[i]=val;
}
pair<int,int> ask(int x)
{
pair<int,int> answer=make_pair(0,0);
for(int i=x;i;i-=lowbit(i))
if(judge(answer,tr[i]))
answer=tr[i];
return answer;
}
void build(int x,int fat)
{
f[x][0]=minn[x][0]=fat;
for(int i=1;i<=20;i++)
{
f[x][i]=f[f[x][i-1]][i-1];
minn[x][i]=min(minn[x][i-1],minn[f[x][i-1]][i-1]);
}
}
signed main()
{
memset(minn,0x3f,sizeof(minn));
n=read();
m=read();
for(int i=1;i<=n;i++)
{
s[i].x=read();
s[i].a=read();
s[i].id=i;
}
Get_tim();
for(int i=1;i<=n;i++)
lsh[i]=a[i]=2*s[i].x+s[i].a*tim*tim;
sort(lsh+1,lsh+n+1);
for(int i=1;i<=n;i++)
{
a[i]=lower_bound(lsh+1,lsh+n+1,a[i])-lsh;
pair<int,int> temp=ask(a[i]-1);
build(s[i].id,temp.second);
add(a[i],make_pair(temp.first+1,s[i].id));
}
now=ask(n).second;
for(int i=1;i<=m;i++)
{
ans[i]=now;
now=f[now][0];
}
sort(ans+1,ans+m+1);
for(int i=1;i<=m;i++)
printf("%lld\n",ans[i]);
return 0;
}
