Bzoj 4591: [Shoi2015]超能粒子炮·改 数论,Lucas定理,排列组合
4591: [Shoi2015]超能粒子炮·改
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Description
曾经发明了脑洞治疗仪&超能粒子炮的发明家SHTSC又公开了他的新发明：超能粒子炮·改--一种可以发射威力更加
强大的粒子流的神秘装置。超能粒子炮·改相比超能粒子炮，在威力上有了本质的提升。它有三个参数n，k。它会
向编号为0到k的位置发射威力为C(n,k) mod 2333的粒子流。现在SHTSC给出了他的超能粒子炮·改的参数，让你求
其发射的粒子流的威力之和模2333。
Input
第一行一个整数t。表示数据组数。
之后t行，每行二个整数n，k。含义如题面描述。
k<=n<=10^18，t<=10^5
Output
t行每行一个整数，表示其粒子流的威力之和模2333的值。
Sample Input
1
5 5
5 5
Sample Output
32
HINT
Source
题解：
Lucas定理：C(n,k)%p=(C(n/p,k/p)*C(n%p,k%p))%p (p为质数)
C(n,k)%2333=C(n/2333,k/2333)*C(n%2333,k%2333)
分两种部分考虑：
设k=k1*2333+k2 (0≤k1,k2)
1.对于k1部分
C(n,0)……C(n,2332)
=C(n/2333,0)*C(n%2333,0)+C(n/2333,0)*C(n%2333,1)+……+C(n/2333,0)*C(n%2333,2332) = C(n/2333,0)*(∑C(n%2333,i)(0≤i≤2332)) ==> 2333个
C(n,2333)……C(n,4665)
=C(n/2333,1)*C(n%2333,0)+C(n/2333,1)*C(n%2333,1)+……+C(n/2333,1)*C(n%2333,2332) = C(n/2333,1)*(∑C(n%2333,i)(0≤i≤2332)) ==> 2333个
C(n,4666)……C(n,6998)
=C(n/2333,2)*C(n%2333,0)+C(n/2333,2)*C(n%2333,1)+……+C(n/2333,2)*C(n%2333,2332) = C(n/2333,2)*(∑C(n%2333,i)(0≤i≤2332)) ==> 2333个
C(n,6999)……C(n,9331)
=C(n/2333,3)*C(n%2333,0)+C(n/2333,3)*C(n%2333,1)+……+C(n/2333,3)*C(n%2333,2332) = C(n/2332,3)*(∑C(n%2333,i)(0≤i≤2332)) ==> 2333个
…………
所以k1部分的总和sum=(∑C(n%2333,i)(0≤i≤2332))*(∑C(n/2333,j)(0≤j≤k1-1))
2.对于k2部分
C(n,k1*2333)……C(n,k)
=C(n/2333,k1)*C(n%2333,0)+C(n/2333,k1)*C(n%2333,1)+……+C(n/2333,k1)*C(n%2333,k%2333) ==> k%2333+1个
=C(n/2333,k1)*(∑C(n%2333,i)(0≤i≤k%2333))
由以上可得ans=(∑C(n%2333,i)(0≤i≤2332))*(∑C(n/2333,j)(0≤j≤k1-1))+C(n/2333,k1)*(∑C(n%2333,i)(0≤i≤k%2333))
预处理 S(n,k)=∑C(n,i)(0≤i≤k),化简ans=S(n%2333,2332)*(∑C(n/2333,j)(0≤j≤k1-1))+C(n/2333,k1)*S(n%2333,k%2333)
因为n%2333一定小于2333,所以可以用二维数组S(n,k)表示。但 ∑C(n/2333,j)(0≤j≤k1-1) 中n/2333可能很大，无法用二维数组存储，所以不把 ∑C(n/2333,j)(0≤j≤k1-1) 化简为 S(n/2333,k1-1)。但是可以发现 ∑C(n/2333,j)(0≤j≤k1-1) 与 要求的最终答案的公式的格式 ∑C(n,i)(0≤i≤k) 一样，所以可以递归求解。另外ans中的C(n/2333,k1)可以用Lucas定理求解。
1 #include<bits/stdc++.h> 2 using namespace std; 3 #define LL long long 4 #define MOD 2333 5 LL jc[MOD+10],C[MOD+10][MOD+10],S[MOD+10][MOD+10]; 6 LL read() 7 { 8 LL s=0,fh=1;char ch=getchar(); 9 while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')fh=-1;ch=getchar();} 10 while(ch>='0'&&ch<='9'){s=s*10+(ch-'0');ch=getchar();} 11 return s*fh; 12 } 13 LL mod(LL k,LL k1){return k-(k/k1)*k1;} 14 void cljc() 15 { 16 jc[0]=1LL; 17 for(int i=1;i<=MOD;i++)jc[i]=mod(jc[i-1]*i,MOD); 18 } 19 void clC() 20 { 21 int i,j; 22 C[0][0]=1LL; 23 for(i=1;i<=MOD;i++) 24 { 25 C[i][0]=C[i][i]=1LL; 26 for(j=1;j<i;j++)C[i][j]=mod(C[i-1][j]+C[i-1][j-1],MOD); 27 } 28 for(i=0;i<=MOD;i++) 29 { 30 S[i][0]=1LL; 31 for(j=1;j<=MOD;j++)S[i][j]=mod(S[i][j-1]+C[i][j],MOD); 32 } 33 } 34 LL ksm(LL bb,LL pp,LL kk) 35 { 36 LL s=1LL; 37 while(pp>0) 38 { 39 if(pp%2!=0)s=mod(s*bb,kk); 40 pp/=2; 41 bb=mod(bb*bb,kk); 42 } 43 return s; 44 } 45 LL Comb(LL n,LL m,LL p) 46 { 47 if(m>n)return 0LL; 48 if(m>n-m)m=n-m; 49 return mod(jc[n]*ksm(mod(jc[m]*jc[n-m],p),p-2,p),p); 50 } 51 LL Lucas(LL n,LL m,LL p) 52 { 53 if(m==0LL)return 1LL; 54 return mod(/*Comb(mod(n,p),mod(m,p),p)*/C[n%p][m%p]*Lucas(n/p,m/p,p),p); 55 } 56 LL getans(LL n,LL m,LL p) 57 { 58 if(m<0LL)return 0LL; 59 return mod(mod(S[mod(n,2333)][2332]*getans(n/2333,m/2333-1,p),p)+mod(Lucas(n/2333,m/2333,p)*S[mod(n,2333)][mod(m,2333)],p),p); 60 } 61 int main() 62 { 63 LL T,n,k; 64 cljc(); 65 clC(); 66 T=read(); 67 while(T--) 68 { 69 n=read();k=read(); 70 printf("%lld\n",getans(n,k,MOD)); 71 } 72 fclose(stdin); 73 fclose(stdout); 74 return 0; 75 }
