Bzoj 1696: [Usaco2007 Feb]Building A New Barn新牛舍 中位数,数学

1696: [Usaco2007 Feb]Building A New Barn新牛舍

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Description

经过多年的积蓄，农夫JOHN决定造一个新的牛舍。他知道所有N(2 <= N <= 10,000)头牛的吃草位置，所以他想把牛舍造在最方便的地方。 每一头牛吃草的位置是一个整数点(X_i, Y_i) (-10,000 <= X_i <= 10,000; -10,000 <= Y_i <= 10,000)。 没有两头牛的吃草位置是相邻的。 JOHN决定把牛舍造在一个没有牛吃草的整数点上。如果牛舍在(X, Y)，在(X_i, Y_i)的牛到牛舍的距离是|X-X_i|+|Y-Y_i|。 JOHN把牛舍造在哪儿才能使所有牛到牛舍的距离和最低？ 

Input

第1行： 一个数，N。

第2~N+1行：第i+1行 包含第i头牛的位置(X_i, Y_i)。

Output

第1行： 两个数，最小距离和和所有可能达到这个距离和的牛舍位置的数目。 

Sample Input

4
1 -3
0 1
-2 1
1 -1

输入解释：

一共有4头牛，位置分别为(1, -3), (0, 1), (-2, 1), 和(1, -1).

Sample Output

10 4

输出解释：
最小距离和是10，可以在牛舍位于 (0, -1), (0, 0), (1, 0), (1, 1)时达到。

HINT

 

Source

Gold

题解：

由于题目要求总距离最小，所以就可以想到找中位数。

然而证明并不会。。。自己找度娘。。。

 

把x，y分别排序。

如果牛的个数为奇数，我们就分别取x,y排好序的中点。然后判断是否有牛。若没有就取当前这个点，若有就去找上下左右四个点中最小值和最小值的个数。(题目保证了牛不相邻)

如果为偶数，中位数有两个(x1,y1),(x2,y2)。则答案的个数为(x2-x1+1)*(y2-y1+1)-中间有牛的个数。

具体看程序：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define INF 1e9
int x[10010],y[10010],xx[10010],yy[10010];
int fx[5]={0,0,1,-1};
int fy[5]={1,-1,0,0};
int read()
{
    int s=0,fh=1;char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')fh=-1;ch=getchar();}
    while(ch>='0'&&ch<='9'){s=s*10+(ch-'0');ch=getchar();}
    return s*fh;
}
int main()
{
    freopen("newbarn.in","r",stdin);
    freopen("newbarn.out","w",stdout);
    int n,i,nn,x1,y1,x2,y2,sum,j,gs,mn;
    n=read();
    for(i=1;i<=n;i++)x[i]=read(),y[i]=read(),xx[i]=x[i],yy[i]=y[i];
    sort(xx+1,xx+n+1);
    sort(yy+1,yy+n+1);
    if(n%2!=0)
    {
        nn=(n+1)/2;
        x1=xx[nn];
        y1=yy[nn];
        for(j=1;j<=n;j++)if(x[j]==x1&&y[j]==y1)break;
        if(j<=n)
        {
            mn=INF;gs=0;
            for(i=0;i<=3;i++)
            {
                x2=x1+fx[i];
                y2=y1+fy[i];
                sum=0;
                for(j=1;j<=n;j++)
                {
                    sum+=(int)fabs(x[j]-x2)+(int)fabs(y[j]-y2);
                }
                if(sum<mn)
                {
                    mn=sum;gs=1;
                }
                else if(sum==mn)gs++;
            }
            printf("%d %d",mn,gs);
            return 0;
        }
        sum=0;
        for(i=1;i<=n;i++)
        {
            sum+=(int)fabs(x[i]-x1)+(int)fabs(y[i]-y1);
        }
        printf("%d 1",sum);
    }
    else
    {
        nn=n/2;
        sum=0;
        x1=xx[nn];
        y1=yy[nn];
        sum=0;
        for(i=1;i<=n;i++)
        {
            sum+=(int)fabs(x[i]-x1)+(int)fabs(y[i]-y1);
        }
        x2=xx[nn+1];
        y2=yy[nn+1];
        gs=(x2-x1+1)*(y2-y1+1);
        for(i=1;i<=n;i++)
        {
            if(x[i]>=x1&&x[i]<=x2&&y[i]>=y1&&y[i]<=y2)
            {
                gs--;
            }
        }
        printf("%d %d",sum,gs);
    }
    fclose(stdin);
    fclose(stdout);
    return 0;
}