乘法逆元
乘法逆元1
这里有两种方法求逆元其实我只会两种qwq：
在这里放一个线性的式子：
\[inv_i = p-(p\div i)\times inv_{p\%i}\%p
\]
原理我也不懂orz。
啊是的这是第一种方法。
另一种方法用到了费马小定理，结论是：
在模数\(p\)为质数的情况下：
\[a^{-1}\equiv a^{p-2} (mod~~p)
\]
不会证。
然后我们用快速幂求一下即可。
不过在这道题里用第二种方法会T，必须用线性的求法。
乘法逆元2
我们Tethys真的是太厉害啦！！！！
如果用线性求逆元的方法，我们需要求出从\(1\)到\(a_{max}\)的所有逆元。
然而\(a_{max}\)上限为\(10^{9}\)，这种做法显然是不可行的。
有另一种求逆元的方法好像叫离线求逆元？？：
首先逆元是完全积性的，我们要知道\(a_i\)的前缀积的逆元就是逆元的前缀积。
所以我们在输入的时候顺便求一下前缀积，然后有这么两个式子：
\[式子1：a_{i}^{-1}=pre_{i}^{-1}\times pre_{i-1}(1\leq i\leq n)
\]
\[式子2：pre_{i-1}^{-1} = pre_{i}^{-1} \times a_i (1\leq i< n)
\]
推式子：
式子是怎么推的，这一步可以跳过，因为太简单qwq：
式子2：
第二个好推所以我们先推第二个 \(pre_{i-1}^{-1} = pre_{i}^{-1} \times a_i\)
首先逆元的前缀积是这样的：
\[pre_i^{-1} = a_{1}^{-1} \times a_{2}^{-1} \times ... \times a_{i}^{-1}
\]
因为\(a^{-1} = \frac{1}{a}\)，
所以可以变成这样的形式：
\[pre_i^{-1} = \frac{1}{a_1\times a_{2} \times ... \times a_{i}}
\]
显然：
\[pre_{i-1}^{-1} = pre_i^{-1} \times a_i = \frac{1}{a_1\times a_{2} \times ... \times a_{i}} \times a_i = \frac{1}{a_1\times a_{2} \times ... \times a_{i-1}}
\]
所以：
\[pre_{i-1}^{-1} = pre_{i}^{-1} \times a_i
\]
式子1：
接下来推第一个式子\(a_{i}^{-1}=pre_{i}^{-1}\times pre_{i-1}\)
因为：
\[a_{i}^{-1} = \frac{1}{a_i}
\]
因为前缀积的逆元可以变成这样：
\[pre_i^{-1} = \frac{1}{a_1\times a_{2} \times ... \times a_{i}}
\]
把式子1展开相乘一下：
\[pre_i^{-1} \times pre_{i-1} = \frac{1}{a_1\times a_{2} \times ... \times a_{i}} \times a_1\times a_{2} \times ... \times a_{i-1} = \frac{1}{a_i}
\]
所以：
\[a_{i}^{-1}=pre_{i}^{-1}\times pre_{i-1}
\]
然后我们就推完了orz。
我们就可以根据这个两个式子线性求出逆元的前缀积，但是首先要\(log\)的求一下\(pre_n\)的逆元。
代码：
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
template<typename temp>
temp read(temp &x){
x = 0;temp f = 1;char ch;
while(!isdigit(ch = getchar())) (ch == '-') and (f = -1);
for(x = ch^48; isdigit(ch = getchar()); x = (x<<1)+(x<<3)+(ch^48));
return (x *= f);
}
template <typename temp, typename ...Args>
void read(temp& a, Args& ...args){read(a), read(args...);}
const int maxn = 5e6+10;
long long n, p, k, ans, pre[maxn], inv_pre[maxn], a[maxn];
long long fast(long long x, long long y, long long p){
long long ans = 1;
while(y){
if(y&1) ans = ans*x%p;
x = x*x%p;
y >>= 1;
}
return ans%p;
}
signed main(){
read(n, p, k);pre[0] = 1;
for(int i = 1; i <= n; i ++) pre[i] = pre[i-1]*read(a[i])%p;//求前缀积
inv_pre[n] = (fast(pre[n], p-2, p));//求出pre[n]的逆元
for(int i = n; i >= 1; i --) inv_pre[i-1] = inv_pre[i]*a[i]%p;//求出逆元的前缀积
for(int i = n; i >= 1; i --) ans = (ans + inv_pre[i]*pre[i-1]%p)*k%p;//式子一求出a[i]的逆元
printf("%lld", ans);
return 0;
}
