网络流

我来透彻网络流了。因为懒得打字参考了LNOI创始人的博客qwq。说白了就是粘

网络流

网络流定义

在一个有向图上选择一个源点，一个汇点，每一条边上都有一个流量上限（以下称为容量），即经过这条边的流量不能超过这个上界，同时，除源点和汇点外，所有点的入流和出流都相等，而源点只有流出的流，汇点只有汇入的流。

这样的图叫做网络流。

网络流相关定义

1. 源点：有\(n\)个点，有\(m\)条有向边，有一个点很特殊，只出不进，叫做源点。

2. 汇点：另一个点也很特殊，只进不出，叫做汇点。

3. 容量和流量：每条有向边上有两个量，容量和流量，从i到j的容量通常用\(c[i,j]\)表示,流量则通常是\(f[i,j]\)。
   通常可以把这些边想象成道路，流量就是这条道路的车流量，容量就是道路可承受的最大的车流量。
   很显然的，流量\(\leq\)容量。而对于每个不是源点和汇点的点来说，可以类比的想象成没有存储功能的货物的中转站，所有“进入”他们的流量和等于所有从他本身“出去”的流量。

4. 最大流：把源点比作工厂的话，问题就是求从工厂最大可以发出多少货物，是不至于超过道路的容量限制，也就是，最大流。

增广路算法

该方法通过寻找增广路来更新最大流，有\(EK,dinic,SAP,ISAP\)主流算法。

最常用的就是\(dinic\)。

但是费用流需要用到\(EK\)，所以要学会\(EK\)，\(dinic\)算法；

增广路：在图中若经过一条从源点到汇点的路径后，路径上所有边的剩余容量都\(>0\)（注意是\(>\)不是\(\geq\)），那么这条路径被称为增广路。

我们通过找到增广路来求解最大流，因为只要有增广路，你的所求最大流就是不最大的，当无增广路之后，最大流就求出来了读者自证不难。

dinic

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int maxn(210), maxm(5010);

int n, m, s, t, cnt = 1, head[maxn], dep[maxn], cur[maxn];
long long ans;

struct edge{
	int x, y, z, nxt;
}e[maxm<<1];

inline void add_edge(int x, int y, int z){
	++cnt;
	e[cnt].x = x, e[cnt].y = y, e[cnt].z = z;
	e[cnt].nxt = head[x];
	head[x] = cnt;
	return;
}

bool bfs(){
	for(int i = 1; i <= n; i ++) dep[i] = 0;
	queue<int> q;
	q.push(s);
	dep[s] = 1;
	while(q.size()){
		int now = q.front();
		q.pop();
		for(int i = head[now]; i; i = e[i].nxt){
			int to = e[i].y, len = e[i].z;
			if(len and !dep[to]){
				dep[to] = dep[now] + 1;
				q.push(to);
				if(to == t) return 1;
			}
		}
	}
	return 0;
}

int dfs(int now, int num){
	if(now == t) return num;
	int res = num;
	for(int i = cur[now]; i and res; i = e[i].nxt){
		cur[now] = i;
		int to = e[i].y, len = e[i].z;
		if(len and (dep[to] == dep[now] + 1)){
			int k = dfs(to, min(res, len));
			if(!k) dep[to] = 0;
			e[i].z -= k, e[i^1].z += k, res -= k;
		}
	}
	return num-res;
}

void dinic(long long &ans){
	while(bfs()){
		for(int i = 1; i <= n; i ++) cur[i] = head[i];
		int num = 0;
		while(num = dfs(s,1<<29)) ans += num;
	}
	return;
}

signed main(){
	scanf("%d%d%d%d", &n, &m, &s, &t);
	for(int x, y, z; m; m --){
		scanf("%d%d%d", &x, &y, &z);
		add_edge(x,y,z);
		add_edge(y,x,0);
	}
	dinic(ans);
	printf("%lld", ans);
	return 0;
}