[bzoj1767][Ceoi2009]harbingers【dp】

【题目描述】

Description

给定一颗树，树中每个结点有一个邮递员，每个邮递员要沿着唯一的路径走向capital(1号结点)，每到一个城市他可以有两种选择： 1.继续走到下个城市 2.让这个城市的邮递员替他出发。 每个邮递员出发需要一个准备时间W[I]，他们的速度是V[I]，表示走一公里需要多少分钟。 现在要你求出每个城市的邮递员到capital的最少时间(不一定是他自己到capital，可以是别人帮他） N<=100000 3 ≤ N ≤ 100 000 0 ≤ Si≤ 10^9 1 ≤ Vi≤ 10^9 The length of each road will not exceed 10 000 For 20% of the tests, N ≤ 2 500 For 50% of the tests, each town will have at most 2 adjacent roads (i.e., the graph of roads will be a line)

Input

N 以下N-1行A,B,C三个数表示A,B之间有一条长为C的边。 再N行每行两数Wi,Vi 输出有一行N-1个数表示如题所述。

Output

Sample Input

5
1 2 20
2 3 12
2 4 1
4 5 3
26 9
1 10
500 2
2 30

Sample Output

206 321 542 328

HINT

 

Source

【题解】

 树上斜率优化，设dep[j]>dep[k]，当前询问的点为i，若j比k优，

有f[j]+(dep[i]-dep[j])*v[i]+w[i]<f[k]+(dep[i]-dep[j])*v[i]+w[i]

化简得： f[j]-f[k]<(dep[j]-dep[k])*v[i]

即 ： (f[j]-f[k])/(dep[j]-dep[k])<v[i]

单调栈维护斜率的下凸壳即可。

由于是树。在弹栈时并不是把栈真的弹出，而是在它应该插入的地方打个标记，只改掉这个位置的值，并修改top，

访问完这个点的子树后，把top和这个点的值都改回来。

 
/* --------------
    user Vanisher
    problem bzoj-1767 
----------------*/
# include <bits/stdc++.h>
# define    ll      long long
# define    N       100010
using namespace std;
struct node{
    ll data,next,vote;
}e[N*2];
ll stf[N],sdep[N],v[N],w[N],head[N],place,top,f[N],n;
void build(ll u, ll v, ll d){
    e[++place].data=v; e[place].next=head[u]; head[u]=place; e[place].vote=d;
    e[++place].data=u; e[place].next=head[v]; head[v]=place; e[place].vote=d;
}
ll read(){
    ll tmp=0, fh=1; char ch=getchar();
    while (ch<'0'||ch>'9'){if (ch=='-') fh=-1; ch=getchar();}
    while (ch>='0'&&ch<='9'){tmp=tmp*10+ch-'0'; ch=getchar();}
    return tmp*fh;
}
// f[i]=f[j]+dist(i,j)*v[i]+w[i];
// f[i]=f[k]+dist(i,k)*v[i]+w[i];
// f[j]+dist(i,j)*v[i]+w[i]<f[k]+dist(i,k)*v[i]+w[i]
// f[j]-f[j]<dist(j,k)*v[i]
// (f[j]-f[k])/dist(j,k)<v[i] // dep[j]>dep[k] 
ll findin(ll nowf, ll nowd){
    ll l=2, r=top, p=top+1;
    while (l<=r){
        ll mid=(l+r)/2;
        if ((nowf-stf[mid])*1.0/(nowd-sdep[mid])<(stf[mid]-stf[mid-1])*1.0/(sdep[mid]-sdep[mid-1]))
            p=mid, r=mid-1;
            else l=mid+1;
    }
    return p;
}
ll query(ll dep, ll v, ll w){
    ll l=2, r=top, p=1;
    while (l<=r){
        ll mid=(l+r)/2;
        if ((stf[mid]-stf[mid-1])*1.0/(sdep[mid]-sdep[mid-1])<v)
            p=mid, l=mid+1;
            else r=mid-1;
    }
    return stf[p]+w+(dep-sdep[p])*v;
}
void dfs(ll x, ll fa, ll d){
    ll k=findin(f[x],d);
    ll olddep=sdep[k], oldf=stf[k], oldtop=top;
    sdep[k]=d; stf[k]=f[x]; top=k;
    for (ll ed=head[x]; ed!=0; ed=e[ed].next){
        if (e[ed].data==fa) continue;
        f[e[ed].data]=query(d+e[ed].vote,v[e[ed].data],w[e[ed].data]);
        dfs(e[ed].data,x,d+e[ed].vote);
    }
    sdep[k]=olddep, stf[k]=oldf, top=oldtop;
}
int main(){
    n=read();
    for (ll i=1; i<n; i++){
        ll u=read(), v=read(), k=read();
        build(u,v,k);
    }
    for (ll i=2; i<=n; i++)
        w[i]=read(), v[i]=read();
    dfs(1,0,0);
    for (ll i=2; i<n; i++)
        printf("%lld ",f[i]);
    printf("%lld\n",f[n]);
    return 0;
}