[bzoj1002][FJOI2007]轮状病毒【高精度】【矩阵树定理】

【题目描述】

Description

　　轮状病毒有很多变种，所有轮状病毒的变种都是从一个轮状基产生的。一个N轮状基由圆环上N个不同的基原子
和圆心处一个核原子构成的，2个原子之间的边表示这2个原子之间的信息通道。如下图所示

　　N轮状病毒的产生规律是在一个N轮状基中删去若干条边，使得各原子之间有唯一的信息通道，例如共有16个不
同的3轮状病毒，如下图所示

　　现给定n(N<=100)，编程计算有多少个不同的n轮状病毒

Input

　　第一行有1个正整数n

Output

　　计算出的不同的n轮状病毒数输出

Sample Input

3

Sample Output

16

HINT

Source

【题解】

    据说可以矩阵树定理暴力水过 qwq。

    考虑基尔霍夫矩阵的样子：（n=5为例）

     5    -1    -1    -1    -1   -1

    -1     3    -1     0     0    -1

    -1    -1    3    -1     0     0

    -1     0    -1    3    -1     0

    -1     0     0    -1     3    -1

    -1    -1     0     0    -1     3

    我们考虑去掉第一行第一列的余子式D。

    设G为D去掉左下角和右上角的-1的矩阵。

    显然有G(n)=3*G(n-1)-G(n-2)

    ans(n)=3*G(n-1)-2*G(n-2)-2

    推导：3*G(n-1)为取最后一行一列的元素，2*G(n-2)为取左下右上或最后一行一列旁边的两个元素。

    -2为取一个左下（右上） 一个最后一行一列 旁边的元素。剩下的矩阵为下三角矩阵，对角线上全为-1

    画个图会非常清晰。

     

/* --------------
    user Vanisher
    problem bzoj-1002 
----------------*/
# include <bits/stdc++.h>
# define 	ll 		long long
# define 	N 		110
using namespace std;
int read(){
	int tmp=0, fh=1; char ch=getchar();
	while (ch<'0'||ch>'9'){if (ch=='-') fh=-1; ch=getchar();}
	while (ch>='0'&&ch<='9'){tmp=tmp*10+ch-'0'; ch=getchar();}
	return tmp*fh;
}
struct number{
	int num[N];
}g[2],ans;
int n,f1=0,f2=1;
number operator *(int x, number a){
	int i;
	for (i=1; i<=a.num[0]; i++)
		a.num[i]=a.num[i]*x;
	for (i=1; i<=a.num[0]||a.num[i]!=0; i++)
		a.num[i+1]+=a.num[i]/10, a.num[i]%=10;
	a.num[0]=i-1;
	return a;
}
number operator -(number a, number b){
	int i,j=1;
	for (i=1; i<=b.num[0]; i++)
		a.num[i]-=b.num[i];
	for (i=1; i<=a.num[0]; i++){
		if (a.num[i]<0) a.num[i+1]--, a.num[i]+=10;
		if (a.num[i]>0) j=i;
	}
	a.num[0]=j;
	return a;
}
number operator -(number a, int b){
	int i,j=1;
	a.num[1]-=b; 
	for (i=1; i<=a.num[0]; i++){
		if (a.num[i]<0) a.num[i+1]-=1, a.num[i]+=10;
		if (a.num[i]>0) j=i;
	}
	a.num[0]=j;
	return a;
}
int main(){
	n=read();
	if (n<3){
		if (n==1) printf("1\n");
		if (n==2) printf("5\n");
		return 0;
	}
	g[f1].num[0]=1; g[f1].num[1]=3;
	g[f2].num[0]=1; g[f2].num[1]=8;
	for (int i=3; i<n; i++){
		g[f1]=3*g[f2]-g[f1];
		swap(f1,f2);
	}
	ans=3*g[f2]-2*g[f1]-2;
	for (int i=ans.num[0]; i>=1; i--)
		printf("%d",ans.num[i]);
	printf("\n");
	return 0;
}