物理实验复习

注：本文借助了大模型文本生成技术辅助生成笔记。

绪论：不确定度与误差分析

AB类不确定度

A类不确定度 ( $\Delta a$ )

A类不确定度来源于随机误差，通常通过多次测量获得。

在有限测量中，测量误差通常服从t分布，因此需要在贝塞尔公式的基础上乘以一个与样本数量 $n$ 相关的偏差因子。

当 $n$ 在5到10之间时，这个偏差因子接近1，直接使用1计算的话误差相对较小，因此可以直接认为A类不确定度等于随机变量 $x$ 的方差。

$\begin{align} \Delta a=\sigma_x \end{align}$
B类不确定度 ( $\Delta b$ )

B类不确定度来源于系统误差，通常由仪器的允许误差范围决定。

若未注明，通常取仪器最小刻度值的一半作为B类不确定度。

仪器误差包含系统误差和随机误差，其性质依赖于仪器的精度。高精度仪器（如0.2级精密电表）主要受随机误差影响，而低精度仪器（如1.0级以下）则可能同时包含系统误差和随机误差。

B类不确定度的概率分布函数通常为均匀分布，误差范围为正负 $\Delta b$ ，因此有：

$\begin{align} \Delta b = \frac{\Delta a}{\sqrt{3}} \end{align}$

单次测量的误差

对于单次测量，测量值包括系统误差和随机误差。若随机误差较小，可以使用仪器误差作为单次测量的误差。

单次测量的误差通常取仪器的最小刻度值的一半。

绝对不确定度

绝对不确定度（ $\Delta$ ）与测量单位相同，直接反映测量接近真值的程度。不确定度越小，测量精度越高。

绝对不确定度的计算公式为A类和B类不确定度的平方和再开根号：

\begin{aligned} (3) & Δ = \sqrt{(Δ a)^{2} + (Δ b)^{2}} \end{aligned}

$\begin{align} \Delta = \sqrt{(\Delta a)^2 + (\Delta b)^2} \end{align}$

间接测量的误差传递

若有一个变量 $n$ 与 $x$ 、 $y$ 、 $z$ 有函数关系，且已知其误差，可以通过全微分法求得 $n$ 的不确定度。

计算步骤：

对 $n$ 进行全微分或取对数后再求全微分。
将微分符号替换为不确定度符号（ $\Delta$ ）。
计算每项误差的平方和并开方。

示例：圆柱体体积的误差计算

圆柱体体积公式：

\begin{aligned} (4) & V = π r^{2} h \end{aligned}

$\begin{align} V = \pi r^2 h \end{align}$

已知半径 $r = 2.34 \pm 0.06 \, \text{cm}$ ，高度 $h = 16.32 \pm 0.14 \, \text{cm}$ 。

计算体积的准确值：

\begin{aligned} (5) & V = π (2.34)^{2} (16.32) \approx 279.3 {cm}^{3} \end{aligned}

$\begin{align} V = \pi (2.34)^2 (16.32) \approx 279.3 \, \text{cm}^3 \end{align}$

体积的不确定度通过标准误差传递公式计算（对上面的圆柱体体积公式(4)先左右同时取对数，再全微分）：

\begin{aligned} (6) & \frac{σ_{V}}{V} = \sqrt{{(\frac{\partial \ln V}{\partial r} σ_{r})}^{2} + {(\frac{\partial \ln V}{\partial h} σ_{h})}^{2}} \end{aligned}

$\begin{align} \frac{\sigma_V}{V} = \sqrt{\left(\frac{\partial \ln V}{\partial r} \sigma_r\right)^2 + \left(\frac{\partial \ln V}{\partial h} \sigma_h\right)^2} \end{align}$

其中：

$\frac{\partial \ln V}{\partial r} = \frac{2}{r}$
$\frac{\partial \ln V}{\partial h} = \frac{1}{h}$

常用误差传递公式

加法：
$\begin{align} \sigma_n = \sqrt{(\sigma_x)^2 + (\sigma_y)^2} \end{align}$
减法：
$\begin{align} \sigma_n = \sqrt{(\sigma_x)^2 + (\sigma_y)^2} \end{align}$
乘法：
$\begin{align} \frac{\sigma_n}{n} = \sqrt{\left(\frac{\sigma_x}{x}\right)^2 + \left(\frac{\sigma_y}{y}\right)^2} \end{align}$

具体的可以用上面的公式（全微分，或者先同时取对数再求全微分）现推。

有效数字

有效数字指的是可靠数字加上一位可疑数字，用于表示测量结果的精度。

加减法运算中，最终结果的有效数字位数由参与运算的数值中小数点后位数最少的那个决定。四舍六入五凑偶原则仅应用于最终结果的舍入。

乘除法运算也一样，只要是被可疑数字影响到了的数位就是可疑数字，最后使用四舍六入五凑偶原则，仅保留一位可疑数位。

最小二乘法

接下来再复习一下最小二乘法，因为这个还是会在考试的时候计算会用到。

本文只面向考试，所以就不涉及推导了。

假如现在数据经过整理后，得到了两个具有一次函数关系的变量y和x，表示为 $y=b_0+b_1 x$

\begin{aligned} (10) & b_{0} & = \bar{y} - b_{1} \bar{x} \\ (11) & b_{1} & = \frac{\bar{x} \cdot \bar{y} - \bar{x y}}{{\bar{x}}^{2} - \bar{x^{2}}} \\ (12) & r & = \frac{\bar{x y} - \bar{x} \cdot \bar{y}}{\sqrt{(\bar{x^{2}} - {\bar{x}}^{2}) (\bar{y^{2}} - {\bar{y}}^{2})}} \end{aligned}

$\begin{align} b_0&=\overline y-b_1 \overline x\\ b_1&=\frac{\overline x \cdot \overline y-\overline{xy}}{\overline{x}^2-\overline{x^2}}\\ r&=\frac{\overline{xy}-\overline x\cdot\overline y}{\sqrt{(\overline{x^2}-\overline{x}^2)(\overline{y^2}-\overline{y}^2)}} \end{align}$