卡掉hash的方法

大质数hash

通常，这个质数会选择在 $10^9$ 附近，如 $998244353$，$10^9+7$。

考虑生日碰撞，欲达到 50% 成功率，需要尝试的次数为

$$\begin{align} Q(H)\approx\sqrt{\frac\pi2H}\approx39623 \end{align}$$

可以参考概率表

所以我们可以生成 $10^5$ 左右个较短的字符串，即可有很大的概率发生hash冲突。

Code

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<map>
#include<vector>
#include<limits.h>
#define LL long long
#define ULL unsigned long long
using namespace std;

vector<string> create(unsigned num,unsigned int sze)
{
	vector<string>ans;
	while(num--)
	{
		string str;
		for(unsigned int i=0;i<sze;i++)
		{
			str.push_back('a'+rand()%26);
		}
		ans.push_back(str);
	}
	return ans;
}

bool check(vector<string>strs,ULL base,ULL p)
{
//	sort(strs.begin(),strs.end());
	map<int,string>Map;
	for(unsigned int i=0;i<strs.size();i++)
	{
		ULL x=0;
		for(unsigned int j=0;j<strs[i].size();j++)
		{
			x=x*base+strs[i][j]-'a';
			x%=p;
		}
		if(Map.find(x)==Map.end()) Map[x]=strs[i];
		else
		{
			if(Map[x]!=strs[i]) return 1;
		}
	}
	return 0;
}


int main()
{
	srand(time(0));
	int T=100,succ=0;
	for(int t=0;t<T;t++)
	{
		vector<string>strs=create(100000,10); // 生成100000个长度为10的随机字符串
		bool c=check(strs,31,998244853); // base=31,p=998244353，检查是否存在hash冲突
		cout<<c<<endl;
		succ+=c;
	}
	cout<<succ<<"/"<<T<<endl;
	
	return 0;
}

试运行发现，设置字符串数量为$39623$时，发生hash冲突的概率近似$50\%$，符合预期。而当设置字符串数量为$100000$时，$1000$次测试中只有$4$次没有发生hash冲突。所以设置$10^5$个字符串就差不多可以卡掉绝大多数单大质数hash了。

64位无符号整数自然溢出

首先需要对base奇偶性分类讨论。

当base是偶数时比较简单：设第 $i$ 位指的是字符串从右往左数第 $i$ 个字符，设有相同串 $C$ ，其长度不小于64.构造字符串 $A=a+C,B=b+C$，这两个字符串的后64位上均相同，更高位上不相同。

字符串中第 $i$ 位的权重为 $base^{i-1}$，则高于64位上的字符的权重一定可以被 $2^{64}$ 整除。也就是说，高于64位上的字符不会对hash值产生影响。

下面着重说一下base为奇数的情况。

构造方法

考虑使用字符a和b构造字符串：

记 $\overline A$ 表示字符串 $A$ 中所有 a 变成 b ，所有 b 变成 a。

记 $A_1=a$，$A_i=A_{i-1}+\overline{A_{i-1}}$

例如 $A_2=ab,A_3=abba,A_4=abbabaab$

那么$len(A_i)=2^{i-1}$

可以证明，当 $i$ 大于某个数时，$hash(A_i)=hash(\overline{A_i})$

证明

由于我们的hash函数使用的是64位无符号整数自然溢出，所以相当于我们需要证明

$$\begin{align} 2^{64}\mid(hash(A_i)-hash(\overline{A_i})) \end{align}$$

设$f(i)=hash(A_i)-hash(\overline{A_i})$

根据递推公式可得

$$\begin{align} hash(A_i)&=hash(A_{i-1})\times base^{len(A_{i-1})}+hash(\overline{A_{i-1}})\\ &=hash(A_{i-1})\times base^{2^{i-2}}+hash(\overline{A_{i-1}}) \end{align}$$

则有

$$\begin{align} f(i)&=(hash(A_{i-1})-hash(\overline{A_{i-1}}))\times base^{2^{i-2}}+(hash(\overline{A_{i-1}})-hash(A_{i-1}))\\ &=(hash(A_{i-1})-hash(\overline{A_{i-1}}))\times (base^{2^{i-2}}-1)\\ &=f(i-1)\times (base^{2^{i-2}}-1) \end{align}$$

设$g(i)=base^{2^{i-2}}-1(i\ge2)$

则有

$$\begin{align} f(i)&=f(i-1)\times g(i)\\ &=f(i-2)\times g(i) \times g(i-1)\\ &=f(1)\times g(i)\times g(i-1)\times g(i-2)\times\dots\times g(2) \end{align}$$

由于 $base$ 是奇数，所以 $base^{2^{i-2}}$ 也是奇数，故 $g(i)$ 是偶数。

故有

$$\begin{align} 2^{i-1}\mid f(i) \end{align}$$

为了达到$2^{64}\mid f(i)$，需取$i=65$即可，但是这样会构造两个长度为$2^{64}\approx10^{20}$的字符串，是不可行的。

由于$g(i)=base^{2^{i-2}}-1=(base^{2^{i-3}}+1)(base^{2^{i-3}}-1)=偶数*g(i-1)$

所以有

$$\begin{align} 2^{i-1} & \mid g(i)\\ 2^\frac{i(i-1)}{2} & \mid f(i) \end{align}$$

我们需要$\frac{i(i-1)}{2}\ge64$，则只需取$i=12$，构造出字符串 $A_{12}$ 和 $\overline{A_{12}}$，即可卡掉base为奇数的自然溢出。

最后，在这两字符串后再加上长度大于等于64的相同串，即可同时卡掉base为偶数的自然溢出。

Code

#include<iostream>
#include<string>
#include<cmath>
#include<map>
#include<vector>
#include<limits.h>
#define ULL unsigned long long
using namespace std;


string C;

string create()
{
	string str="a";
	for(int i=2;i<=11;i++) // 会产生长度为2^(i-1)长度的字符串，而我们需要i_max=12
	{
		for(int j=0;j<(1<<(i-2));j++) //延拓字符串长度为1<<(i-1)
		{
			str.push_back(str[j]=='a'?'b':'a');
		}
	}
	return str;
}

string Not(string str)
{
	for(unsigned int i=0;i<str.size();i++)
	{
		str[i]=(str[i]=='a'?'b':'a');
	}
	return str;
}

bool check(string a,string b,ULL base)
{
	ULL aa=0,bb=0;
	for(unsigned int i=0;i<a.size();i++)
	{
		aa=aa*base+a[i]-'a';
	}
	for(unsigned int i=0;i<b.size();i++)
	{
		bb=bb*base+b[i]-'a';
	}
	return aa==bb;
}


int main()
{
	for(int i=1;i<=65;i++) C.push_back('a');
	string str=create();
	string A=str+C,B=Not(str)+C;
	cout<<"构造的字符串的长度为"<<A.size()<<endl;
	int T=10000,succ=0;
	for(int t=0;t<T;t++)
	{
		bool c=check(A,B,t*2+1);
		cout<<c<<endl;
		succ+=c;
	}
	cout<<succ<<"/"<<T<<endl;
	
	return 0;
}

疑惑：为什么这里取 $i=11$ 就可以了？

我在研究的过程中，发现取 $i=11$ 时，对于测试的所有奇数base都成功了。但是明明证明的是 $i$ 最小取 $12$？最后由lzh揭开了谜团。

$g(3)$ 很特别：$g(3)=base^{2^{3-2}}-1=base^2-1$

由于base是奇数，设$base=2n-1(n\ge1)$，有

$$\begin{align} g(3)=(2n-1)^2-1=4n^2-4n=4n(n+1) \end{align}$$

一定是8的倍数。故 $2^3 \mid g(3)$。

再结合递推公式，有

$$\begin{align} \begin{cases} 2^{i} \mid g(i)\quad i\ge3\\ 2^1 \mid g(i)\quad i=2\\ \end{cases} \end{align}$$

所以有

$$\begin{align} 2^{\frac{(3+i)(i-2)}{2}+1} \mid f(x) \end{align}$$

当 $i=11$时，刚好是$2^{64}$（真巧！）

如何避免被卡

• 随机base。相当于让不同位置上的权重不一样
• 双模数hash。
• 超大质数hash。既能像自然溢出一样有着大值域不易生日攻击，又不会被特殊的构造卡掉。