2024牛客多校2B MST
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Problem
Sajin最近深入研究了最小生成树，现在他已经掌握了MST的算法。他渴望通过一系列查询来评估您对最小生成树概念的掌握程度。
您将面临一个加权无向图，该图包含没有任何自环的 \(n\) 个顶点和 \(m\) 条边。
Sajin提出 \(q\) 询问。对于每个顶点集，都给出了一个顶点集 \(S\) 。您的目标是确定 \(S\) 的诱导子图（induced subgraph）并找到其最小生成树的权重。如果 \(S\) 的诱导子图断开，则输出-1。
图的诱导子图是另一个图，由图的顶点子集和原始图中的所有边组成，连接该子集中的顶点对。即，对于图 \(G=(V,E)\) ，给定 \(V^\prime\) ，则有 \(E^\prime=\{(u,v) \mid u,v\in V^\prime,(u,v)\in E\}\)，诱导子图为 \(G^\prime=(V^\prime,E^\prime)\)。
\(2\le n\le 10^5,1\le m,q\le10^5\)
\(1 \le |S_i|\le n,\sum S_i\le 10^5\)
Solution
Algorithm1
由于限制了 \(\sum S_i\le 10^5\) ， MST本身的时间复杂度是完全过得去的。但是瓶颈在于如何从 \(G\) 中挑出需要的边。
考虑两种找边的方法：
- 对于 \(S\) 中的点 \(x\)，遍历 \(x\) 的所有出边，终点为 \(y\) 。如果 \(y\in S\) ，那么边 \((x,y)\in G^\prime\) 。将得到的所有边存起来并排序跑kruskal。
对于一次询问，这个算法的最坏时间复杂度为 \(O(m\log(|S|))\) ，即所有边都需要被遍历一次。
- 用map存图 \(G\) ；双重遍历 \(x,y\in S\) ，将其中存在的边 \((x,y)\) 取出来并排序跑kruskal。
整体时间复杂度是\(O(n^2+n^2\log(n))\)，即双重遍历和kruskal。
取 \(base=\sqrt n\) ，
- 当 \(|S|\le base\) 时使用第二种算法，总时间复杂度为 \(O(n\cdot base\cdot \log(n))\)
- 当 \(|S| > base\) 时使用第一种算法，总时间复杂度为 \(O(base\cdot m\cdot \log(n))\) 。
Algorithm2
一般建立最小生成树，我们会使用上面的第一种找边的方式：对于 \(S\) 中的点 \(x\)，遍历 \(x\) 的所有出边，终点为 \(y\) 。如果 \(y\in S\) ，那么边 \((x,y)\in G^\prime\) 。将得到的所有边存起来并排序跑kruskal。
问题的瓶颈在于新建导出子图 \(G^\prime\) 的时候，会被类菊花图卡掉。可能会一直询问类菊花图的核心点，而这些核心点具有很多条出边，每次询问都需要遍历核心节点的出边。
考虑类似三元环的连边方式，对于每条边，只从度小的点到度大的点连一条单向边。如果度数相同，则从编号小的连接到编号大的。
在这样构建的图中，每个点的出度不会大于 \(\sqrt m\) 。如果有某个点的出度为 \(d > \sqrt m\) ，那么在原图中，需要有 \(d\) 个度数大于 \(d\) 的节点与该节点连接，此时总边数至少 \(d\times d>m\)，矛盾。
所以可以在这样的一张单向图中放心的找边，单次询问时间复杂度 \(O(|S| \sqrt m \log(|S|))\) 。
Code
Code1
#define N 100010
struct Edge
{
int x,y;
LL w;
Edge(int xx,int yy,LL ww)
{
x=xx;
y=yy;
w=ww;
}
bool operator<(const Edge & z)
{
return w<z.w;
}
};
int n,m,q;
namespace algo1{
int cnt;
int head[N],nxt[N*2],ver[N*2],w[N*2];
void insert(int x,int y,LL z)
{
nxt[++cnt]=head[x];
head[x]=cnt;
ver[cnt]=y;
w[cnt]=z;
}
};
namespace algo2{
map<pii,LL>mp;
void insert(int x,int y,LL z)
{
pii e=make_pair(x,y);
if(mp.find(e)==mp.end()) mp[e]=z;
else mp[e]=min(mp[e],z);
}
bool exist(pii e)
{
return mp.find(e)!=mp.end();
}
};
namespace DSU{
int vis[N],f[N],sz[N];
int getf(int x)
{
if(x==f[x]) return x;
return f[x]=getf(f[x]);
}
void merge(int x,int y)
{
x=getf(x);
y=getf(y);
if(x==y) return;
if(sz[x]<sz[y]) swap(x,y);
f[y]=x;
sz[x]+=sz[y];
}
bool ask(int x,int y)
{
return getf(x)==getf(y);
}
};
LL MST(vector<int>V,vector<Edge>E)
{
sort(E.begin(),E.end());
LL ans=0;
int cnt=1;
for(unsigned int i=0;i<E.size();i++)
{
if(!DSU::ask(E[i].x,E[i].y))
{
cnt++;
DSU::merge(E[i].x,E[i].y);
ans+=E[i].w;
}
}
if(cnt!=V.size()) return -1;
return ans;
}
int main()
{
ios::sync_with_stdio(false);
cin.tie(0);
cout.tie(0);
cout.precision(10);
int t=1;
// cin>>t;
while(t--)
{
cin>>n>>m>>q;
for(int i=1;i<=m;i++)
{
int x,y;
LL z;
cin>>x>>y>>z;
algo1::insert(x,y,z);
algo1::insert(y,x,z);
algo2::insert(x,y,z);
algo2::insert(y,x,z);
}
const int base=sqrt(100000);
while(q--)
{
int k;
cin>>k;
vector<int>S;
vector<Edge>E;
for(int i=0;i<k;i++)
{
int t;cin>>t;
S.push_back(t);
DSU::vis[t]=1;
DSU::sz[t]=1;
DSU::f[t]=t;
}
if(k>base)
{
//algo1
for(int i=0;i<k;i++)
{
int x=S[i];
for(int j=algo1::head[x];j;j=algo1::nxt[j])
{
int y=algo1::ver[j];
LL w=algo1::w[j];
if(DSU::vis[y])
{
E.push_back(Edge(x,y,w));
}
}
}
}
else
{
//algo2
for(int i=0;i<k;i++)
{
for(int j=i+1;j<k;j++)
{
pii e=make_pair(S[i],S[j]);
if(algo2::exist(e))
{
E.push_back(Edge(S[i],S[j],algo2::mp[e]));
}
}
}
}
cout<<MST(S,E)<<endl;
for(int i=0;i<k;i++)
{
DSU::vis[S[i]]=0;
}
}
}
return 0;
}
生最差劲的一件事莫过于早上写的代码但半路跑路还没做任何标记，晚上打开不知道从何续写。
人生最美好的一件事莫过于发现这份代码其实是以及写完的！？而且还能过样例！？？而且直接提交直接过了！？？？
Code2
#define N 100010
struct Edge
{
int x,y;
LL w;
Edge(int xx,int yy,LL ww)
{
x=xx;
y=yy;
w=ww;
}
bool operator<(const Edge & z)
{
return w<z.w;
}
};
int n,m,q;
namespace G1
{
map<pii,LL>mp;
int degree[N];
void insert(int x,int y,LL z)
{
pii e=make_pair(x,y);
if(mp.find(e)==mp.end()) mp[e]=z;
else mp[e]=min(mp[e],z);
degree[x]++;
}
};
namespace G2
{
int cnt;
int head[N],nxt[N*2],ver[N*2];
LL w[N];
void insert(int x,int y,LL z)
{
nxt[++cnt]=head[x];
head[x]=cnt;
ver[cnt]=y;
w[cnt]=z;
}
};
namespace DSU{
int vis[N],f[N],sz[N];
int getf(int x)
{
if(x==f[x]) return x;
return f[x]=getf(f[x]);
}
void merge(int x,int y)
{
x=getf(x);
y=getf(y);
if(x==y) return;
if(sz[x]<sz[y]) swap(x,y);
f[y]=x;
sz[x]+=sz[y];
}
bool ask(int x,int y)
{
return getf(x)==getf(y);
}
};
LL MST(vector<int>V,vector<Edge>E)
{
sort(E.begin(),E.end());
LL ans=0;
int cnt=1;
for(unsigned int i=0;i<E.size();i++)
{
if(!DSU::ask(E[i].x,E[i].y))
{
cnt++;
DSU::merge(E[i].x,E[i].y);
ans+=E[i].w;
}
}
if(cnt!=V.size()) return -1;
return ans;
}
int main()
{
ios::sync_with_stdio(false);
cin.tie(0);
cout.tie(0);
cout.precision(10);
int t=1;
// cin>>t;
while(t--)
{
cin>>n>>m>>q;
for(int i=1;i<=m;i++)
{
int x,y;
LL z;
cin>>x>>y>>z;
G1::insert(x,y,z);
G1::insert(y,x,z);
}
for(auto it=G1::mp.begin();it!=G1::mp.end();it++)
{
int x=it->first.first,y=it->first.second;
LL w=it->second;
if(G1::degree[x]<G1::degree[y]||(G1::degree[x]==G1::degree[y]&&x<y)) G2::insert(x,y,w);
}
while(q--)
{
int k;
cin>>k;
vector<int>S;
vector<Edge>E;
for(int i=0;i<k;i++)
{
int t;cin>>t;
S.push_back(t);
DSU::vis[t]=1;
DSU::sz[t]=1;
DSU::f[t]=t;
}
for(int i=0;i<k;i++)
{
int x=S[i];
for(int j=G2::head[x];j;j=G2::nxt[j])
{
int y=G2::ver[j];
LL w=G2::w[j];
if(DSU::vis[y])
{
E.push_back(Edge(x,y,w));
}
}
}
cout<<MST(S,E)<<endl;
for(int i=0;i<k;i++)
{
DSU::vis[S[i]]=0;
}
}
}
return 0;
}
