多目标规划模型

在许多实际问题当中，衡量一个方案的好坏标准可能不只一个。比如生产某个东西的时候想要“物美价廉”——既要质量好，又要成本低。这一类问题统称为多目标最优化问题或者多目标规划问题。

标准形式

多目标规划问题一般可以写成如下形式：

\[\begin{aligned} \min & f_1(x) \\ \min & f_2(x) \\ & \vdots \\ \min & f_p(x) \\ \text { s.t. } & g_i(x) \leq 0, i=1,2, \ldots, m \end{aligned} \]

其中, \(x=\left(x_1, x_2, \ldots, x_m\right)^T \in R^m, p \geq 2\)

例题1 生产计划问题

下面以一道例题来展示常见的多目标规划模型

某厂生产三种布料\(A_1,A_2,A_3\)，改厂两班生产，每周生产时间为\(80h\)，能耗上限\(160t\)标准煤。其他数据如下表：

布料	生产速度(m/h)	利润(元/m)	每周最大销售量(m)	能耗(t/km)
\(A_1\)	400	0.15	40000	1.2
\(A_2\)	510	0.13	51000	1.3
\(A_3\)	360	0.20	36000	1.4

问每周生产三种布料各多少米，才能使得该厂的利润最高，而能耗最少？

---

设该厂每周生产三种布料分别\(x_1,x_2,x_3\)小时。总利润为\(y_1=f_1(x)\)（元），总能耗为\(y_2=f_2(x)\)（吨标准煤），其中\(x=(x_1,x_2,x_3)^T\)，则上述问题的数学模型为：

\[\begin{aligned} & \min y_1=-f_1(x) \\ & \min y_2=f_2(x) \\ & \text { s.t. }\left\{\begin{array}{l} x_1+x_2+x_3 \leq 80 \\ 1.2 \times 0.4 x_1+1.3 \times 0.5 x_2+1.4 \times 0.36 x_3 \leq 160 \\ 0 \leq x_1 \leq 100,0 \leq x_2 \leq 100,0 \leq x_3 \leq 100 \end{array}\right. \end{aligned} \]

其中

\[\begin{align} f_1(x)&=0.15\times400x_1+0.13\times510x_2+0.2\times360x_3\\ f_2(x)&=1.2\times0.4x_1+1.3\times 0.51x_2+0.36\times 1.4x_3 \end{align} \]

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可以发现，多目标规划问题与以前所讲的规划问题的主要区别在于：目标函数不止一个，而是\(p\)个。\((p\ge2)\)

多目标问题的解法

多目标问题的解法大致可以分为两类：直接解法和间接解法。其中常用的多为间接解法：根据问题的实际背景和特征，设法讲多目标优化问题转化为单目标优化问题，从而得到满意的解法。

间接解法有：主要目标法，分层序列法，线性加权求和法。

假设我们现在的问题数学模型形如

\[\begin{aligned} \min \ & y_1 = f_1(x) \\ \min \ & y_2 = f_2(x) \\ \text { s.t. }\ & g_i(x) \leq 0, i=1,2, \ldots, m \end{aligned} \]

下面简述三种解法。

主要目标法

不妨设\(f_1(x)\)为主要目标。那么我们为\(f_2(x)\)设定一个阈值\(\theta\)，将其转化为一个约束\(f_2(x)\le \theta\)。

\[\begin{aligned} \min \ & y_1 = f_1(x) \\ \text { s.t. }\ & g_i(x) \leq 0, i=1,2, \ldots, m\\ & f_2(x)\le \theta \end{aligned} \]

这里的阈值\(\theta\)需要自己主观确定，确定的合理一点。

注：论文写作时，使用主要目标法之前，应先将原数学模型写出来。

分层序列法

假设\(y_1\)比\(y_2\)重要（给目标函数的重要性排个序），那么先不管\(y_2\)，解第一个模型：

\[\begin{aligned} \min \ & y_1 = f_1(x) \\ \text { s.t. }\ & g_i(x) \leq 0, i=1,2, \ldots, m \end{aligned} \]

假设解出了最优解：\(x=x^\star,y_1=f_1(x^\star)\)

接着我们需要在“不牺牲\(y_1\)的情况下最小化\(y_2\)”，即解第二个模型：

\[\begin{aligned} \min \ & y_2 = f_2(x) \\ \text { s.t. }\ & g_i(x) \leq 0, i=1,2, \ldots, m\\ & f_1(x)\le f_1(x^\star) \end{aligned} \]

但是分析发现，条件\(f_1(x)\le f_1(x^\star)\)是很难满足的。如果第一个模型只有唯一解，那么对于第二个模型要满足\(f_1(x)\le f_1(x^\star)\)，也只有唯一解（即\(x=x^\star\)）。

在实际建模中，为了确保\(y_2\)有一定的“生存空间”，往往将第二个模型的限制条件\(f_1(x)\le f_1(x^\star)\)增加一个裕度\(\eta\)，适当的放松对于\(y_1\)优化的力度：

\[\begin{aligned} \min \ & y_2 = f_2(x) \\ \text { s.t. }\ & g_i(x) \leq 0, i=1,2, \ldots, m\\ & f_1(x)\le f_1(x^\star)+\eta \end{aligned} \]

线性加权求和法

取权重\(w_1,w_2\in(0,1)\)，且\(w_1+w_2=1\)，将原模型转化为

\[\begin{aligned} \min \ & y = w_1f_1(x)+w_2f_2(x) \\ \text { s.t. }\ & g_i(x) \leq 0, i=1,2, \ldots, m \end{aligned} \]

\(w_1,w_2\)​的取值情况要讨论，需要讨论取不同权重对于结果的影响。

例题

国赛2005B《DVD在线租赁》T2T3

问题重述

DVD租赁网站的会员可以租赁DVD。每个会员每个月可以提交至多2次订单，订单包含了一个基于该会员对DVD偏爱程度排序的DVD列表（长度最大为10），每次租赁可以获得3张DVD。会员看完3张DVD之后需要将3张DVD寄回才可以继续下次租赁。

T2：表2列出了网站手上的100中DVD及其现有张数、当前需要处理的1000位会员的订单。对这些DVD进行分配，使会员获得最大的满意度。

T3：继续考虑表2，并假设表2中DVD现有的数量全部为0。作为网站经营管理人员，决定每种DVD的购买量，以及如何对这些DVD进行分配，才能使得一个月内95%的会员得到他想看的DVD，并且满意度最大？

表2节选

DVD编号	D001	D002	D003	...
DVD现有数量	10	40	15	...
会员C001	6(表示第6想要)	0(表示不想要)	0	...
会员C002	0	0	0	...
会员C003	0	0	3(表示第3想要)	...
会员编号...	...	...	...	...

模型假设

1. 假设按照公历月份进行租赁业务，即会员的所有租赁必须在当月内完成DVD的租与还。
2. 假设网站对会员进行一次租赁业务时，只能向其提供3张该会员已经预定的DVD，否则不进行租赁。（这个可以减少计算量）

问题二模型建立与求解

我们设会员得到了其第\(i\)想要的DVD所产生的满意度为\(11-i\)，对得到不想要的DVD的满意度为\(0\)，依此将表2的订单矩阵转化为满意度矩阵\(C\)，其中\(c_{ij}\)表示第\(i\)位会员对第\(j\)中DVD的满意度。显然每位会员最大满意度为\(10+9+8=27\)​。依照假设2，只有该会员的满意度达到了27，才会给这位会员寄出DVD，对总满意度产生贡献。

我们定义\(x_{ij}\)

\[\begin{gathered} x_{i j}= \begin{cases}0 & \text { 将第 } j \text { 种DVD不分配个第 } i \text { 个会员 } \\ 1 & \text { 将第 } j \text { 种DVD分配给第 } i \text { 个会员 }\end{cases} \\ i=1,2, \cdots, 1000 ; j=1,2, \cdots, 100 \end{gathered} \]

对于每种DVD，分配的总量不能超过现有的数量\(n_j\)，故有

\[\begin{gather} \sum_{i=1}^{1000}x_{ij}\le n_j,\quad j=1,2,\dots,100 \end{gather} \]

只给下订单的DVD进行分配，即只有满意度指数\(c_{ij}\not=0\)的时候才会将一张\(j\)种DVD分配给会员\(i\)，故有

\[\begin{gather} x_{ij}\le c_{ij},\quad i=1,2,\dots,1000;j=1,2,\dots,100 \end{gather} \]

相当于“若\(c_{ij}=0\)，则\(x_{ij}=0\)”。这用了一个很巧妙的方式。

根据假设2，每个会员要么得到3张其预定的DVD，要么不得。故有

\[\begin{gather} \sum_{j=1}^{100}x_{ij}=3或0,\quad i=1,2,\dots,1000 \end{gather} \]

在上述约束的前提下，我们需要最大化总体满意度指数和

\[\begin{gather} \sum_{i=1}^{1000}\sum_{j=1}^{100}c_{ij}x_{ij} \end{gather} \]

显然每位会员最大的满意度指数为\(27\)，1000位会员的最大满意度指数和为\(1000\times 27=27000\)​，依此进行归一化

\[\begin{equation} \max \quad w=\frac{1}{27000} \sum_{i=1}^{1000} \sum_{j=1}^{100} c_{i j} x_{i j} \end{equation} \]

由此可得问题二的0-1整数线性规划模型如下：

\[\begin{equation} \begin{aligned} & \max \quad w=\frac{1}{27000} \sum_{i=1}^{1000} \sum_{j=1}^{100} c_{i j} x_{i j} \\ & \text { s.t. }\left\{\begin{array}{l} (\sum_{j=1}^{100} x_{i j})-3 z_i=0\\ \sum_{i=1}^{1000} x_{i j} \leq n_j\\ x_{i j} \leq c_{i j}\\ x_{i j}=0 \text { 或 } 1\\ z_i=0 \text { 或 } 1 \end{array}\right. \\ & i=1,2, \cdots, 1000 ; j=1,2, \cdots, 100 \end{aligned} \end{equation} \]

其中\(z_i\)是一个人工变量，用于解决限制\(\sum_{j=1}^{100}x_{ij}=3或0\)。

Lingo代码

需要先设置xls文件的区域名称\(^{[1]}\)

MODEL:
SETS:
A /1..1000/:z;  
B /1..100/:dvd; 
link(A,B):ordC,C,x;      
ENDSETS

DATA:
ordC = @OLE("...\2005Bdata.xls", 'ordC');
dvd = @OLE("...\2005Bdata.xls", 'dvd');
ENDDATA

CALC:
@for(A(i):
    @for(B(j):
        C(i,j)=@if(ordC(i,j) #EQ# 0,0,11-ordC(i,j));
    )
);
ENDCALC

max=@sum(link(i,j):C(i,j)*x(i,j))/27000;
@for(A(i):@sum(B(j):x(i,j))=3*z(i));
@for(B(j):@sum(A(i):x(i,j))<=dvd(j));
@for(link(i,j):x(i,j)<=C(i,j));
@for(link(i,j):@bin(x(i,j)));
@for(A(i):@bin(z(i)));
END

解得总体最大满意度为\(91.56\%\)，只有6个人没有成功租赁。

问题三模型建立与求解

问题三大体上和问题二接近，但是由于同时要最小化dvd的购买量（减少成本），允许在当前某些会员无法满足租赁要求的时候，让其等待，利用部分会员归还的dvd对其进行租赁。

根据问题一（略），一个月中每张有\(0.6\)的概率被租赁两次，\(0.4\)的概率被租赁一次。即在二次租赁的情况下，每购买一张DVD当于发挥了\(0.6\times 2+0.4=1.6\)张DVD的作用。

由此我们在问题二的模型的基础上，进一步考虑DVD两次租赁的情况，满足\(95\%\)的会员的DVD需求，同时进一步追求DVD总购买量最小，建立双目标线性规划模型。

对于每种DVD，分配的总量不超过购买量的1.6倍

\[\begin{gather} \sum_{i=1}^{1000}x_{ij}\le 1.6y_j,\quad j=1,2,\dots,100 \end{gather} \]

\(95\%\)的会员可以看到他想看的3张DVD，DVD总共至少要\(1000\times3\times95\%=2850\)张

\[\begin{gather} \sum_{i=1}^{1000}\sum_{j=1}^{100}x_{ij}\ge 1000\times 3\times 0.95=2850 \end{gather} \]

希望购买的DVD总数量尽量少

\[\begin{gather} \min \quad z=\sum_{j=1}^{100}y_j \end{gather} \]

由此可得问题三的双目标线性规划模型如下：

\[\begin{equation} \begin{aligned} & \min \quad z=\sum_{j=1}^{100}y_j\\ & \max \quad w=\frac{1}{27000} \sum_{i=1}^{1000} \sum_{j=1}^{100} c_{i j} x_{i j} \\ & \text { s.t. }\left\{\begin{array}{l} \sum_{i=1}^{1000}\sum_{j=1}^{100}x_{ij}\ge 1000\times3\times 0.95\\ \sum_{i=1}^{1000}x_{ij}\le 1.6y_j\\ (\sum_{j=1}^{100} x_{i j})-3 z_i=0\\ x_{i j} \leq c_{i j}\\ x_{i j}=0 \text { 或 } 1\\ z_i=0 \text { 或 } 1\\ y_j为整数 \end{array}\right. \\ & i=1,2, \cdots, 1000 ; j=1,2, \cdots, 100 \end{aligned} \end{equation} \]

我们使用主要目标法，我们引入总体最小满意度\(\theta\in[0,1]\)，将关于满意度的目标转化为约束：

\[\begin{equation} \begin{aligned} & \min \quad z=\sum_{j=1}^{100}y_j\\ & \text { s.t. }\left\{\begin{array}{l} \frac{1}{27000} \sum_{i=1}^{1000} \sum_{j=1}^{100} c_{i j} x_{i j} \ge \theta \\ \sum_{i=1}^{1000}\sum_{j=1}^{100}x_{ij}\ge 1000\times3\times 0.95\\ \sum_{i=1}^{1000}x_{ij}\le 1.6y_j\\ (\sum_{j=1}^{100} x_{i j})-3 z_i=0\\ x_{i j} \leq c_{i j}\\ x_{i j}=0 \text { 或 } 1\\ z_i=0 \text { 或 } 1\\ y_j为整数 \end{array}\right. \\ & i=1,2, \cdots, 1000 ; j=1,2, \cdots, 100 \end{aligned} \end{equation} \]

可以稍微对“为什么选取最小化DVD购买量为主要目标”作出一些合理的解释，比如“商家主要追求利润最大化，会员满意度在一定要求（比如90%）之上就差不多了”。

所以这里的\(\theta\)可以自己主观调整。我们设\(\theta=0.95\)。在实际计算中，如果要求\(y_i\)为整数，可能难以求得可行解，因而我们取消了对\(y_i\)的整数约束，在计算之后再对其进行取整。

MODEL:
SETS:
A /1..1000/:z;  
B /1..100/:y; 
link(A,B):ordC,C,x;      
ENDSETS

DATA:
ordC = @OLE("...\2005Bdata.xls", 'ordC');
theta=0.95;
@OLE("...\T3_Output.xlsx",'y')=y;
ENDDATA

CALC:
@for(A(i):
    @for(B(j):
        C(i,j)=@if(ordC(i,j) #EQ# 0,0,11-ordC(i,j));
    )
);
ENDCALC

min=@sum(B(j):y(j));
@sum(link(i,j):C(i,j)*x(i,j))/27000>=theta;
@sum(link(i,j):x(i,j))>=1000*3*0.95;
@for(B(j):@sum(A(i):x(i,j))<=1.6*y(j));
@for(A(i):@sum(B(j):x(i,j))=3*z(i));
@for(link(i,j):x(i,j)<=C(i,j));
@for(link(i,j):@bin(x(i,j)));
@for(A(i):@bin(z(i)));
!@for(B(j):@gin(y(j)));
END

当\(\theta=0.95\)时，我们解得DVD总最小购买量\(\min\ z=1781.250\)，各种DVD需要的购买量\(y_j\)如下表（节选）

DVD编号	总计	1	2	3	4	5	...
\(y_j\)	1781.250	13.125	20	15	23.125	12.5	...
round(\(y_j\))	1782	13	20	15	23	13	...

这里我和老师求出来的不太一样（1823），可能是我写的代码哪里出错了，还望斧正！

所有数据和代码打包放这里了。

参考文献

\([1]\) LINGO与EXCEL之间的数据传递 - GShang - 博客园 (cnblogs.com)