AtCoder Beginner Contest 357-D

Problem

For a positive integer \(N\), let \(V_N\) be the integer formed by concatenating \(N\) exactly \(N\) times.

More precisely, consider \(N\) as a string, concatenate \(N\) copies of it, and treat the result as an integer to get \(V_N\).

For example, \(V_3=333\) and \(V_{10}=10101010101010101010\).

Find the remainder when \(V_N\) is divided by \(998244353\).

---

给一个正整数 \(N\) ，令 \(V_N\) 为 \(N\) 重复 \(N\) 次，求 \(V_N\bmod 998244353\)。

比如，\(V_3=333\)，\(V_{12}=121212121212121212121212\)，\(V_{12}\bmod998244353=214985338\)

Constraints

\(1\le N \le 10^{18}\)

Solution

注意到\(N\)非常大，肯定需要对\(V_N\)进行转化。理想应该能够在\(\log n\)的复杂度内解决。

我们记\(w\)为\(N\)的位数，那么有

\[\begin{align} V_N&=N\times10^0+N\times10^w+N\times10^{2w}+\dots+N\times10^{(N-1)w}\\ &=N\times\sum_{k=0}^{N-1}10^{wk}\\ &=N\times\frac{1\cdot(1-10^{wN})}{1-10^w}\\ &=N\times\frac{10^{wN}-1}{10^w-1} \end{align} \]

可以用快速幂和逆元解决了。

Code

#define p 998244353ull

ULL qpow(ULL a,ULL b){
	a%=p;
	ULL ans=1;
	while(b){
		if(b&1) ans=ans*a%p;
		b>>=1;
		a=a*a%p;
	}
	return ans;
}

ULL inv(ULL a){
	return qpow(a%p,p-2)%p;
}

int main()
{
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(0);
	cout.tie(0);
	cout.precision(10);
	int t=1;
//	cin>>t;
	while(t--)
	{
		ULL N,w;
		cin>>N;
		w=to_string(N).size();
		//w=log10(N)+1;
		cout<< N %p *(qpow(qpow(10,w),N)-1+p) %p * inv((qpow(10,w)-1+p)%p) %p;
	}
	return 0;
}

Attention

1. 注意多取模
2. 获取\(w\)时，不要使用\(log10(N)+1\)，在\(N\)较大的时候会有精度误差！
3. 要不咱用python写一遍也是可以的（