【2020.11.23提高组模拟】徒(walk) 题解

【2020.11.23提高组模拟】徒(walk) 题解

题目描述

给一个简单连通无向图，选一个点为起点，每次选一条没有走过的边走，若无则停止。问是否存在一个起点使得无论如何选择，走出来的路径一定是欧拉路。

\(T\le 10,n\le100000,m\le200000\)

Solution

这是一道结论题。

首先要存在欧拉路，才可能存在那样的一个起点。这个先特判。

接下来有一个结论。

结论：

对于所有点度都是偶数的图，若存在一个点被所有环经过，则存在那样的起点且就是被所有环穿过的点，否则不行

对于有两个点度是奇数的图，若存在一个奇度点被所有环经过，才存在，否则不存在。

证明：

对于所有点度都是偶数的图，若存在一个点被所有点经过，我们设这个点为起点，假设我们已经走了一些欧拉回路并且有一些点没有走，那么由于欧拉回路中的所有点的度数为偶数，可以发现剩下边组成的图的点的度数还是偶数，那么剩下的边组成的图中一定是欧拉图集合，其中一定有环。又因为起点就是在环上的，所以可以直接走，一定有解。

若不存在一个点被所有的环穿过，则一定可以构造出一种不符合要求的方案。

奇数的类似证明。

而判断一个点是否在所有环上只需要删除这个点以及其边，图若变成森林（找不到环），则这个点是合法的。这样是\(O(n^2)\)的。

考虑当点度数都是偶数时贪心，发现起点一定是度数最大的点，因此可以一遍找环即可。

Code

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<map>
#include<set>
#include<queue>
#include<vector>
#define IL inline
#define re register
#define LL long long
#define ULL unsigned long long
#ifdef TH
#define debug printf("Now is %d\n",__LINE__);
#else
#define debug
#endif
using namespace std;

template<class T>inline void read(T&x)
{
    char ch=getchar();
    int fu;
    while(!isdigit(ch)&&ch!='-') ch=getchar();
    if(ch=='-') fu=-1,ch=getchar();
    x=ch-'0';ch=getchar();
    while(isdigit(ch)){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
    x*=fu;
}
inline int read()
{
	int x=0,fu=1;
    char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch)&&ch!='-') ch=getchar();
    if(ch=='-') fu=-1,ch=getchar();
    x=ch-'0';ch=getchar();
    while(isdigit(ch)){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
    return x*fu;
}
int G[55];
template<class T>inline void write(T x)
{
    int g=0;
    if(x<0) x=-x,putchar('-');
    do{G[++g]=x%10;x/=10;}while(x);
    for(int i=g;i>=1;--i)putchar('0'+G[i]);putchar('\n');
}
int q;
int n,m;
int head[400010],nxt[400010],ver[400010];
bool book[400010],unexist[400010];
int degree[100010];
int cnt;
void insert(int x,int y)
{
	nxt[++cnt]=head[x];
	ver[cnt]=y;
	head[x]=cnt;
	
	nxt[++cnt]=head[y];
	ver[cnt]=x;
	head[y]=cnt;
	degree[x]++;
	degree[y]++;
}
void init()
{
	memset(head,0,sizeof(nxt));
	memset(degree,0,sizeof(degree));
	cnt=1;
}
bool dfs(int x,int fa)
{
	if(book[x]) return 1;
	book[x]=1;
	for(re int i=head[x];i;i=nxt[i])
	{
		if(unexist[i]||ver[i]==fa) continue;
		if(dfs(ver[i],x)) return 1;
	}
	return 0;
}
bool work(int s)
{
	memset(book,0,sizeof(book));
	memset(unexist,0,sizeof(unexist));
	for(int i=head[s];i;i=nxt[i]) unexist[i]=unexist[i^1]=1;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		if(i==s||book[i]) continue;
		if(dfs(i,i)) return 0;
	}
	return 1;
}
int main()
{
	freopen("walk.in","r",stdin);
	freopen("walk.out","w",stdout);
	q=read();
	while(q--)
	{
		init();
		n=read();
		m=read();
		for(re int i=1;i<=m;i++)
			insert(read(),read());
		int flag=0;
		for(int i=1;i<=n&&flag<=2;i++)
			if(degree[i]&1) flag++;
		if(flag!=0&&flag!=2)
		{
			cout<<"NO"<<endl;
			continue;
		}
		if(!flag)
		{
			re int s,sd=0;
			for(re int i=1;i<=n;i++)
				if(sd<degree[i]) sd=degree[i],s=i;
			if(work(s)) cout<<"YES"<<endl;
			else cout<<"NO"<<endl;
		}
		else
		{
			re bool flag2=0;
			for(re int i=1;i<=n&&!flag2;i++)
			{
				if(degree[i]&1)
				{
					if(work(i))
						flag2=1;
				}
			}
			if(flag2) cout<<"YES"<<endl;
			else cout<<"NO"<<endl;
		}
	}
	return 0;
}

End

写代码的时候没带脑子。

没了。