【2020.11.16提高组模拟】序列翻转 题解
【2020.11.16提高组模拟】序列翻转 题解
题目简述
求一个\(01\)串经过k次以下的操作有多少种方案数。其中，操作\(A\)和\(B\)按照不同顺序进行（\(AB\)、\(BA\)）视其为不用的操作，即使\(AB\)互相不干扰。
定义合法序列：形如\(10101...10101\)的串，\(i\)维的合法串长度为\(2i+1\)。
操作方法：对一个合法序列中的所有\(01\)取反。
数据范围
| \(type\) | \(n\le\) | k | |
|---|---|---|---|
| \(1\) | \(1\) | \(6\) | \(\le n\) |
| \(2\) | \(1\) | \(10\) | \(\le n\) |
| \(3\) | \(1\) | \(17\) | \(\le n\) |
| \(4\) | \(1\) | \(20\) | \(\le n\) |
| \(5\) | \(1\) | \(23\) | \(\le n\) |
| \(6\) | \(1\) | \(23\) | \(\le n\) |
| \(7\) | \(2\) | \(40\) | \(\le n+1\) |
| \(8\) | \(2\) | \(40\) | \(\le n+1\) |
| \(9\) | \(2\) | \(60\) | \(\le n+1\) |
| \(10\) | \(2\) | \(60\) | \(\le n+1\) |
| \(11\) | \(2\) | \(60\) | \(\le n+1\) |
| \(12\) | \(2\) | \(80\) | \(\le n+1\) |
| \(13\) | \(2\) | \(100\) | \(\le n+1\) |
| \(14\) | \(2\) | \(110\) | \(\le n+1\) |
| \(15\) | \(2\) | \(110\) | \(\le n+1\) |
| \(16\) | \(2\) | \(120\) | \(\le n+1\) |
| \(17\) | \(2\) | \(120\) | \(\le n+1\) |
| \(18\) | \(2\) | \(500\) | \(=n+1\) |
| \(19\) | \(2\) | \(1000\) | \(=n+1\) |
| \(20\) | \(2\) | \(5000\) | \(=n+1\) |
| \(21\) | \(2\) | \(10^5\) | \(=n+1\) |
| \(22\) | \(2\) | \(10^7\) | \(=n+1\) |
| \(23\) | \(2\) | \(10^9\) | \(=n+1\) |
| \(24\) | \(2\) | \(10^{18}\) | \(=n+1\) |
| \(25\) | \(2\) | \(10^{18}\) | \(=n+1\) |
题意分析
首先看到这道题目的数据范围十分有趣，可以大做文章。
Subtask1
\(type=1,n\le23\)
显然暴力将\(n^2*2^n\)的爆搜进行状压写成\(dp\)即可通过。
Subtask2
\(type=2,n,k\le120\)
\(n\)比较小，那么我们可以暴力区间\(dp\)。
我们对一串\(10101...\)枚举一段区间，反转。
可以观察之后，串变成了三个不互相干扰的独立串。
所以可以分开做。
但是这样是\(n^3\cdot k^3\)的。
考虑优化。
只要枚举被反转的区间的左端点在哪里即可。
设g(x)表示左端点\(x\)被砍了一刀，但是右端点不知道在哪的方案数。（右区间要枚举）
最后合并即可。
Subtask3
\(type=2,n\le 10^{18},k=n+1\)
打表可以发现答案就是\(1*3*5*7*...*(2k-1)\)
即
证明也很简单玄学。每一次取出一段合法序列操作时，都会将这一个序列减少一个1。进行\(n+1\)次操作后，整个序列一定是全0的了。接着用组合数拆开、乘法原理乘起来就好。
但是直接阶乘无法通不过\(n=10^{9}\)。
其实当\(mod\le 2i+1\)时，这个连乘的式子中会有一个998244353。
又因为998244353是一个质数，所以\(1\times3\times...\times998244353\times998244355\times...=0\)！（这个!不是阶乘哈）
中间的数据还是会T，分块打表即可。
