树状数组学习笔记

虽然好像是复习？？？算是重新再学一遍好了

数据结构原理与实现

其实树状数组感觉挺妙的，我想好久硬是想不出当时想出来的人怎么想出来的。后来一想感觉其实有点像二进制优化，通过二进制下连续 \(0\) 的长度来表示储存的信息 （说了等于没说） ，所以树状数组维护的信息必须符合一定的结合律。然后就没有然后了。

复杂度证明

因为一个数 \(n\) 的二进制有 \(log(n)\) 位，所以复杂度是 \(nlog(n)\)

题目

「模板」树状数组1
板子题，树状数组维护前缀和，然后区间查询的时候左边界和右边界减一下就行

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define R register int
const int MAXN = 500000 + 10;
int c[MAXN], n, m;
int inline lowbit(int x) {
    return x & -x;
}
void inline update(int x,int k){
    while(x <= n){
	    c[x] += k;
	    x += lowbit(x);
    }
	return;
}
int inline sum(int x) {
	int sun = 0;
	while(x > 0) {
		sun += c[x];
		x -= lowbit(x);
	}
	return sun;
}
int main() {
	scanf("%d%d", &n, &m);
	for(R i = 1; i <= n; i ++) {
		int x; scanf("%d", &x);
        update(i, x);
    }
	for(R i = 1; i <= m; i ++){
        int x, y ,tag;
		scanf("%d%d%d", &tag, &x, &y);
		if(tag == 1) update(x,y);
		else printf("%d\n", sum(y) - sum(x - 1));
	}
	return 0;
}

「模板」树状数组2
板子题，利用差分的思想来进行区间修改

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define R register int
const int MAXN = 5000000 + 10;
int a[MAXN], c[MAXN], p, n, m;
inline int lowbit(int t) {return t&(-t);}
inline void update(int i, int x)  {
	while(i <= n){
		c[i] += x;
		i += lowbit(i);
	}
	return;
}
inline long long sum(int x)  {
	long long ans=0;
	while(x > 0){
		ans += c[x];
		x -= lowbit(x);
	}
	printf("%lld\n",ans);
}
int main()
{
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for(R i = 1; i <= n; i ++){
        scanf("%d", &a[i]);
		update(i, a[i] - a[i - 1]);
	}
	for(R i = 1; i <= m; i ++){
		scanf("%d", &p);
		if(p == 1){
			int x, y, k;
			scanf("%d%d%d", &x, &y, &k);
			update(x, k); update(y + 1, -k );
		}
		else{
			long long x;
			scanf("%lld", &x);
			sum(x);
		}
	}
	return 0;
}

[逆序对]（https://www.luogu.com.cn/problem/P1908）
逆序对是树状数组的经典求解对象，先对一维进行排序，对另一维直接一个个加入树状数组，然后统计前面出现了多少个数即可

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
struct node {
	long long coin;
	int num;
}a[500000<<1];
long long c[500000<<1], b[500000<<1], n;
long long lowbit (long long x) {return x & -x;}
bool cmp (node x, node y) {
	if(x.coin==y.coin) return x.num>y.num;
	return x.coin>y.coin;
}
long long sum (long long i) {
	long long ans = 0;
	while (i > 0) {
		ans += c[i];
		i -= lowbit(i);
	}
	return ans;
}
void update (long long i, long long x) {
	while (i <= n) {
		c[i] += x;
		i += lowbit(i);
	}
}
int main () {
	long long ans=0;  scanf("%lld", &n);
	for(register int i = 1 ; i <= n ; i ++) {
		scanf("%lld", &a[i].coin);  a[i].num = i;
	}
	sort(a + 1, a + n + 1, cmp);
	for(register int i = 1 ; i <= n ; i ++) b[a[i].num] = i;
	for(register int i = 1 ; i <= n ; i ++) {
		update (b[i], 1); ans += sum (b[i] - 1);
	}
	printf("%lld\n",ans);
	return 0;
}