BSGS算法

BSGS算法

前言

\(BabyStepGiantStep\)算法

北上广深算法，orz

算法用于解决高次同余问题，\(a^x\equiv b(mod\ c)\) 满足 \(gcd(a,c) = 1\)

推理过程

根据费马小定理可知

如果 \(a\) 和 \(c\) 互质，满足 \(a^{c-1}\equiv 1(mod\ c)\),

自此之后 \(a^{c}\equiv a(mod\ c)\)

这是一个循环过程，最小项维护在区间 \([0,c)\) ,不能暴力求解，

有一种方法 假设 \(k = ceil(sqrt(c))\) ，使得 \(x=k×kx-ky\) ,其中 \(kx\ \epsilon [1,m],ky\ \epsilon (0,m]\)

之后不断枚举 \(ky\) ，使用 \(kx\) 进行匹配就是结果。

例题

题目：洛谷 P4884

点我，快点我

题解：将 \(N\) 个 \(1\) ,逐步分开成 \(10^0 + 10^1+...+10^{N-1}\), 这是一个等比数列，

进一步化简得到 \(10^n \equiv (9*k+1) (mod\ m)\) ,将公式代进去，输出结果即可。

#include <map>
#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <iostream>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll multi(ll a,ll b,ll mod){
	ll ret=0;
	while(b>0){
		if(b&1)ret=(ret+a)%mod;
		b>>=1;
		a=(a+a)%mod;
	}
	return ret;
}
ll pow(ll a,ll b,ll mod){
	ll ret=1;
	while(b>0){
		if(b&1)ret=multi(ret,a,mod);
		b>>=1;
		a=multi(a,a,mod);
	}
	return ret;
}
ll BSGS(ll a,ll b,ll m){
	ll k=ceil(sqrt(m));
	map<ll,ll>M;
	for(int i=0;i<=k;++i){
		M[b]=i;
		b=multi(b,a,m);
	}
	a=pow(a,k,m);
	ll ret=a;
	for(int i=1;i<=k;++i){
		if(M.count(ret)){
			return i*k-M[ret];
		}
		ret=multi(ret,a,m);
	}
	return 0;
}
int main(){
	ll K,m;
	cin>>K>>m;
	K=(K*9+1)%m;
	cout<<BSGS(10,K,m)<<endl;
	return 0;
}