字典序法生成全排列算法的证明
引言
对一个给定数据进行全排列,在各种场合经常会用到。组合数学中,生成全排列的方法有很多,卢开澄老师的《组合数学》中就介绍了三种:序数法,字典序法,临位互换法等。其中以字典序法由于算法简单,并且使用的时候可以依照当前状态获取下一个状态,直到所有排列全部完成,方便在程序中随要随用,应用比较广泛,STL中的Next_permutation也是使用此法。
算法定义
首先看什么叫字典序,顾名思义就是按照字典的顺序(a-z, 1-9)。以字典序为基础,我们可以得出任意两个数字串的大小。比如 "1" < "12"<"13"。 就是按每个数字位逐个比较的结果。对于一个数字串,“123456789”, 可以知道最小的串是 从小到大的有序串“123456789”,而最大的串是从大到小的有序串“*987654321”。这样对于“123456789”的所有排列,将他们排序,即可以得到按照字典序排序的所有排列的有序集合。
如此,当我们知道当前的排列时,要获取下一个排列时,就可以范围有序集合中的下一个数(恰好比他大的)。比如,当前的排列时“123456879”, 那么恰好比他大的下一个排列就是“123456897”。 当当前的排列时最大的时候,说明所有的排列都找完了。
于是可以有下面计算下一个排列的算法:
设P是1~n的一个全排列:p=p1p2......pn=p1p2......pj-1pjpj+1......pk-1pkpk+1......pn
1)从排列的右端开始,找出第一个比右边数字小的数字的序号j(j从左端开始计算),即 j=max{i|pi<pi+1}
2)在pj的右边的数字中,找出所有比pj大的数中最小的数字pk,即 k=max{i|pi>pj}(右边的数从右至左是递增的,因此k是所有大于pj的数字中序号最大者)
3)对换pi,pk
4)再将pj+1......pk-1pkpk+1......pn倒转得到排列p'=p1p2.....pj-1pjpn.....pk+1pkpk-1.....pj+1,这就是排列p的下一个排列。
证明
![](http://hi.csdn.net/attachment/201203/20/0_1332259725xk2U.gif)
算法实现
/** * get the next permutation based on dictionary order method * * @param cur * @return next permutation string, or null if cur is the last */ public static String next(String cur) { String ret = null; if (cur == null) return ret; int strlen = cur.length(); char[] lcur = cur.toLowerCase().toCharArray(); int j = strlen - 2; while (j >= 0 && lcur[j] > lcur[j + 1]) { j--; } if (j < 0) return ret; int k = strlen - 1; while (lcur[k] < lcur[j]) { k--; } // swap lcur[k], lcur[j] char temp = lcur[k]; lcur[k] = lcur[j]; lcur[j] = temp; // reverse lcur[j+1, ..., strlen-1] int low = j + 1; int high = strlen - 1; while (low < high) { temp = lcur[low]; lcur[low] = lcur[high]; lcur[high] = temp; low++; high--; } ret = String.valueOf(lcur); return ret; }