Educational Codeforces Round 58 (Rated for Div. 2) F dp + 优化(新坑) + 离线处理

https://codeforces.com/contest/1101/problem/F

题意

有n个城市,m辆卡车,每辆卡车有起点\(s_i\),终点\(f_i\),每公里油耗\(c_i\),可加油次数\(r_i\),每辆卡车的油箱大小一样,每次加油都会加满,在城市之间不能加油,问最小油箱大小能满足每辆卡车顺利到达终点

题解

• n<=400,m<=250000,考虑离线处理出任意两个城市能加油k次的最小油耗,然后对于每辆卡车询问
• 定义dp[l][r][k]为区间[l,r]能分成(k+1)段各段的最小值
• \(dp[l][r][k]=min(max(dp[l][i][k-1],a[r]-a[i])),l \leq i \leq r\),\(O(n^4)\),会超时
• 观察一下,\(dp[l][i-1][k-1]\leq dp[l][i][k-1]\),\((a[r]-a[i-1]) \geq (a[r]-a[i])\)
• 即随着i的增加,max()的左边越来越大,右边越来越小,那么min()的点一定在\(dp[l][i][k-1]\)和\(a[r]-a[i]\)最接近的时候,队列维护一下,\(O(n^3)\)
• 然后滚掉第一维,空间\((n^2)\),对于每个\(s_i\)离线处理
• 注意dp初始化问题

代码

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long 
#define MAXN 500005
using namespace std;
struct N{
	ll t,c,r;
	N(ll t=0,ll c=0,ll r=0):t(t),c(c),r(r){}
};
vector<N>G[MAXN];
ll a[505],dp[505][505],s,t,c,r,ans;
int n,m;
int main(){
	cin>>n>>m;
	for(int i=1;i<=n;i++)cin>>a[i];
	for(int i=1;i<=m;i++){
		scanf("%lld%lld%lld%lld",&s,&t,&c,&r);
		G[s].push_back(N(t,c,r));
	}
	for(int i=1;i<=n;i++){
		for(int j=i+1;j<=n;j++){
			dp[j][0]=a[j]-a[i];
			int p=i;
			for(int k=1;k<=n;k++){
				dp[j][k]=a[j]-a[i];
				while(p+1<=j&&dp[p+1][k-1]<=a[j]-a[p+1])p++;
				dp[j][k]=min(dp[j][k],min(dp[p+1][k-1],a[j]-a[p]));
			}
		}
		for(auto u:G[i])
			ans=max(dp[u.t][u.r]*u.c,ans);
	}
	cout<<ans;
}