Pocky HDU 5984(几何概型-期望)

原题

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解析

设函数f(x)表示长度为x的棒截断次数的期望值.

(1) 明显当x<=d时,f(x)=0;

(2) 当f(x)>d时,f(x)=1+f(0~d)+f(d~x).

1表示必定要截断一次,f(0~d)表示截断一次后剩下0~d长度时的期望值,f(d~x)表示截断一次后剩下d~x长度时的期望值.

由(1)知,f(0~d)=0,关键在于求f(d~x),在长度为x的棒上截断一次,截断概率均为1/x,因此f(d~x)=(1/x)*∫(x,d)f(x)dx.

有f(x)=1+(1/x)*∫(x,d)f(x)dx,两边求导,f′(x)=-(1/x²)*∫(x,d)f(x)dx+(1/x)f(x).联立f(x)和f′(x)的表达式求的,f′(x)=1/x,则f(x)=lnx+C,把f(d)=1代入解得C=-lnd+1.

综上所述有

f(x)={0,x<=d

　　 {lnx-lnd+1,x>d

代码

#include <iostream>
#include <cmath>

using namespace std;

typedef long long LL;

int main()
{
    int t;
    cin>>t;
    while(t--)
    {
        double x,y;
        scanf("%lf %lf",&x,&y);
        if(x<=y) printf("0.000000\n");
        else printf("%.6f\n",log(x)-log(y)+1);
    }
    return 0;
}