分层最短路

问题

给一个图,有k次机会可以通过一条边而不计算其权值,问从起点到终点权值和最少为多少？

思路

核心思路:动态规划.把图中的每一个点拆成k+1种状态,分别是从0....k,表示用了多少次不计边权的机会,然后从起点开始跑最短路.设dp[i][j]为起点到i点用了j次机会的最短距离,当更新到dp[i][j]时,先遍历连接i点的所有边,然后对于每条边又两种情况,用一次机会或者不用,不用的话会有if(dp[to][j]>dp[i][j]+cost) dp[to][j]=dp[i][j]+cost..,用的话会有if(dp[to][j+1]>dp[i][j]) dp[to][j+1]=dp[i][j]...最后答案就是dp[t][k],t为终点.由于分层图需要一层一层的跑,所以SPFA会比dijkstra快.

代码

struct P
{
    int s,k,d;
    P (){}
    P (int s_,int k_,int d_){s=s_,k=k_,d=d_;};
};
struct edge{int to,cost;};
vector<edge> es[MAX];
int dp[MAX][MAX];
int n,m,S,T,K; //n¸öµã,mÌõ±ß,S,TΪÆðµãÖÕµã,K×î¶àÓÉK´Î»ú»á 

void init(int n)
{
    for(int i=1;i<=n;i++)
    for(int j=0;j<=K;j++)
    if(i!=S) dp[i][j]=INF;
    else dp[i][j]=0;
}

void SPFA()
{
    init(n);
    queue<P> que;
    que.push(P(S,0,0));
    while(que.size())
    {
        P p=que.front();que.pop();
        if(p.d>dp[p.s][p.k]) continue;
        for(int i=0;i<es[p.s].size();i++)
        {
            edge e=es[p.s][i];
            if(dp[e.to][p.k]>dp[p.s][p.k]+e.cost)
            {
                dp[e.to][p.k]=dp[p.s][p.k]+e.cost;
                que.push(P(e.to,p.k,dp[e.to][p.k]));
            }
            if(p.k<K&&dp[e.to][p.k+1]>dp[p.s][p.k])
            {
                dp[e.to][p.k+1]=dp[p.s][p.k];
                que.push(P(e.to,p.k+1,dp[e.to][p.k+1]));
            }
        }
    }
}