Floyd-Warshall算法

适用范围

任意两点最短路(允许存在负边)

思路

核心思想:动态规划.设dp[k][i][j],表示i到j在前k个点的最短路,dp[0][i][j]表示i到j的最短路不经过任何点,于是dp[0][i][j]=cost[i][j].i到j的最短路在第k个点只有两种情况,如果i到j的最短路不经过k点,有dp[k][i][j]=dp[k-1][i][j],如果经过第k点,有dp[k][i][j]=dp[k-1][i][k]+dp[k-1][k][j],于是又dp[k][i][j]=min(dp[k-1][i][j],dp[k-1][i][k]+dp[k-1][k][j]).因为k和k-1的关系,这个dp也可以直接用二维简化,直接用三重循环(k,i,j)和dp[i][j]=min(dp[i][j],dp[i][k]+dp[k][j])来不断更新dp数组.复杂度(V³).判断负圈直接检查存不存在dp[i][i]是负数的顶点即可.

代码

int dp[MAX+1][MAX+1];//初始化INF,然后把边的权值输入dp[i][j],再令dp[i][i]=0
int n;//顶点数

void floyd_warshall(void)
{
    for(int k=1;k<=n;k++)
    for(int i=1;i<=n;i++)
    for(int j=1;j<=n;j++)
    dp[i][j]=min(dp[i][j],dp[i][k]+dp[k][j]);
}