Saving Beans HDU - 3037(题解)

原题

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题目大意

题目要求把i颗豆(0<=i<=m)放进n个洞里有多少种情况.

题目分析

这道题可以看作是在m颗豆里面按顺序插入n+1个板,就是把这m颗豆分成n+1堆,其中n堆是要放入洞中的,还有1堆是不放进洞中的.这时候情况有(m+1)(m+2)...(m+n+1),又因为这些板是相同的,所以需要除掉它们的全排列即,(m+1)(m+2)...(m+n+1)/(n+1)n...321=!(m+n+1)/!(n+1)!(m).可知求的是C(m+n+1,m).p是质数,可以用lucas定理来求,即C(n,m)%p=C(n/p,m/p)*C(n%p,m%p)%p,其中分隔出来的C(n%p,m%p)%p足够小,可以用逆元求出来,逆元a可以用a^p-2来求,lucas定理可以用递归来实现,m为0时返回1并结束递归(这里记得注意一下C(n%p,m%p)中的m%p是有可能大于n%p的,这时答案为0).

代码

#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <vector>
#include <string>
#include <utility>
#include <queue>
#include <stack>
#include <map>
const int INF=0x3f3f3f3f;
using namespace std;

long long fac[100001];
long long p;

void init(void) //阶乘预处理 
{
    fac[1]=fac[0]=1;

    for(int i=2;i<p;i++)
    {
        fac[i]=fac[i-1]*i%p;

    }
}

long long power(long long a,long long b)
{
    long long res=1;
    a%=p;
    while(b)
    {
        if(b&1) res=res*a%p;
        a=a*a%p;
        b>>=1;

    }
    return res;
}

long long lucas(long long m,long long n)  
{
    if(!n) return 1;
    if(m%p<n%p) return 0;
    else return lucas(m/p,n/p)*fac[m%p]%p*power(fac[n%p]*fac[(m%p-n%p)],p-2)%p;
}

int main()
{
    int t;
    cin>>t;
    while(t--)
    {
        long long n,m;
        cin>>n>>m>>p;
        init();

        long long ans;
        ans=lucas(n+m,m);
        cout<<ans<<endl;
    }
    return 0;
}