Codeforces Round 891 (Div. 3)

比赛链接：https://codeforces.com/contest/1857

A. Array Coloring

题意：一个数列，问能否分成两个和的奇偶性相同的集合
思路：因为偶数不改变奇偶性，咱们就统计奇数的个数，能平分成两组就行

B. Maximum Rounding

题意：给一个数，每次可以找一位数不四舍可五入，然后把这个位及后面的数都变成零，找到最终能到达的最大的数
思路：显然从最低位开始操作才能到达最大的数，所以就这么做

C. Assembly via Minimums

题意：给一个转化后的数组b，求一种可能的原数组a，其中b是由\(min(a_i, a_j) (i < j)\)组成的
思路：其实min(ai, aj)就是a数组中的数两两进行比较，因此，最小的数会在b中出现n-1次，第二小的出现n-2次，以此类推，并且推下去发现最大的数是不会在b中出现的，就随便找个数糊弄就行

D. Strong Vertices

题意：给两个数组，如果\(a_u - a_v >= b_u - b_v\)，就有一条u到v的有向边，问有多少个出度为n-1的点
思路：O(n^2)的暴力是过不了，即使算上只要有一次不成立就break，就算是想如果条件不满足，说明反向成立也就是有个1/2的常数，要换思路。我们稍微改变一下条件原式其实就是\(a_u - b_u >= a_v - b_v\)，预处理一下得到数组c, 其中\(c_i = a_i - b_i\)，那么，我们要找到出度为n-1的点，也就是有一个数比其余n-1个数都大于等于，其实也就是找最大数有几个

E. Power of Points

题意：给一个数组x，对每个\(s=x_i\)，和原数组组成n个区间\([s, x_0], [s, x_1]...\)，对\(1-10^9\)中每个数，\(f(i)\) = 覆盖\(i\)的区间数，求\(\sum_{i = 1}^{10^9} f(i)\)
思路：其实就是求n个区间的大小，逐个去搞要\(O(n ^ 2)\)，不好，我们先排个序，然后梳理一下公式，对每个\(s=x_idx\)，
\(\sum_{i = 1}^{10^9} f(i) = \sum_{i = 1}^{n} |max(s, x_i) - (min(s, x_i) - 1)|\)

\(=\sum_{i = 1}^{idx} {s-x_i+1} + \sum_{i = idx+1}^{n} {x_i-s+1}\)

\(=n + s*(idx-(n-idx)) - \sum_{i = 1}^{idx} x_i + \sum_{i = idx+1}^{n} x_i\)

\(=n + s*(2 * idx - n) - \sum_{i = 1}^{idx} x_i + \sum_{i = idx+1}^{n} x_i\)
这样就很明显了，后两个求和用前缀和求取即可

F. Sum and Product

题意：给个数组，对于每次询问x, y，找到有多少种满足\(a_i + a_j = x, a_i * a_j = y\ (i < j)\)的组合
思路：其实两个式子稍微联立一下就能得到\(a_i\)和\(a_j\)的值，分别是\(x_1 = \frac{x + \sqrt{x^2 - 4y}}{2}\)和\(x_2 = \frac{x - \sqrt{x^2 - 4y}}{2}\)，但是直接最好让\(x_2 = x - x_1\)减小误差，不然真的烦人内，然后分不存在、\(x_1=x_2\)、\(x_1!=x_2\)三种情况用乘法原理算组合。或者，其实看这两个解多半就知道是一元二次方程了，让\(\Delta = x^2 - 4y\)，分无解、同解、两解分情况套路也可以。

G. Counting Graphs

题意：给一个最小生成树，可以往上面加权值不超过s的边，但是不破坏原最小生成树，问有多少种情况
思路：这题的理解还是很模糊，日后累计经验后再思考：我们从生成最小生成树的思路出发，prim显然是指望不上，看看kruskal，它的想法是从小到大枚举边，用并查集维护最小生成树，那么这说明我们在加边的时候，是不能加比点相连原边权值小的边，只能加\([w_i, s]\)的边；
而且，不能连已有边权比加的边权大的点，并且这个点不能连回来会重复，所以我们只能连权值比\(w_i\)小的边，于是我们不如就在建最小生成树的过程中来计算；
在连两个点之前，这两个点一定是不连通的，分属于两个连通块，这两个连通块之间，可以随意连接边权在\([w_i, s]\)的边，除去已有的uv间的边，有size[Find(u)]*size[Find(v)]-1中可能，于是对于每条边，就有\((s - w_i + 1) ^ {size[Find(u)]*size[Find(v)]-1}\)的贡献。