最少硬币支付问题 c的幂次方证明

假设硬币的面值为$c^0,c^1,...,c^k$，其中c是一个大于1的整数，k是一个大于等于1的整数。设$a_i$是找n分钱的最优解中面值$c^i$的硬币的数量，那么对于$i=0,1,...,k-1$，有$a_i<c$。这是因为如果$a_i>=c$，那么可以用一个面值$c^{i+1}$的硬币替换c个面值$c^i$的硬币，从而减少了c-1个硬币，这与最优解矛盾。

设j是满足$c^j<=n$的最大整数，那么贪心算法会选择至少一个面值$c^j$的硬币。如果不选择面值$c^j$或更大的硬币，那么设非贪心解使用$b_i$个面值$c^i$的硬币，对于$i=0,1,...,j-1$，那么有$b_0\ast c^0+b_1\ast c^1+...+b_{j-1}\ast c^{j-1}=n$。由于$n>=c^j$，所以上式左边大于等于$c^j$。又由于$b_i<c$，所以上式左边小于等于$(c-1)\ast (c^0+c^1+...+c^{j-1})=(c-1)\ast (c^j-1)/(c-1)=c^j-1<c^j$。这与上面推出的左边大于等于$c^j$矛盾。所以不选择面值$c^j$或更大的硬币不能产生最优解。

因此，当硬币面值为c的幂次方时，最少硬币支付问题能使用贪心算法.