洛谷-1939

洛谷-1939

猜测

原来我是打算按照斐波那契数列的方法，找到一个二维矩阵，因为$a_x=a_{x-1}+a_{x-3}$，只有两个元素。

但是错了，得不到正确答案。

再看题解，全都是三维矩阵，我就感觉，是不是初始条件的个数决定矩阵是几维的呢？

比如：$f_n=f_{n-1}+f_{n-2}$，初始条件需要$f_1$和$f_2$。

比如：$a_x=a_{x-1}+a_{x-3}$，初始条件需要$a_1$、$a_2$和$a_3$。

以上均为猜测，不知道如何说明。

而且当初始条件为一个的时候，总不可能是一维矩阵吧。例如洛谷-2044，只有一个初始条件，但是不可能使用一维矩阵，因此加入一个另一个常数，使得其变成二维矩阵。

上面猜测错误

例如：[洛谷-5175]

完全是根据自己所需来选择矩阵内部元素！

思路

由斐波那契数列的做法

$$\left(\begin{array}{cc}{f}_n& f_{n-1}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{f}_{n-1}& f_{n-2}\end{array}\right)\ast \left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$$

猜测本题做法

$$\begin{array}{}\text{(1)}& \left(\begin{array}{ccc}{a}_n& a_{n-1}& a_{n-2}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}{a}_{n-1}& a_{n-2}& a_{n-3}\end{array}\right)\ast S\end{array}$$

其中

$$S=\left(\begin{array}{ccc}A& B& C\\ D& E& F\\ G& H& I\end{array}\right)$$

将$(1)$中的矩阵乘法展开，得

$$\begin{array}{}\text{(2)}& \{\begin{array}{l}{a}_n=a_{n-1}\ast A+a_{n-2}\ast D+a_{n-3}\ast G\\ a_{n-1}=a_{n-1}\ast B+a_{n-2}\ast E+a_{n-3}\ast H\\ a_{n-2}=a_{n-1}\ast C+a_{n-2}\ast F+a_{n-3}\ast I\end{array}\end{array}$$

由于$a_x=a_{x-1}+a_{x-3}$，故可以将$(2)$中第一个方程的$a_n$换掉，得

$$\begin{array}{}\text{(3)}& \{\begin{array}{l}{a}_{n-1}+a_{n-3}=a_{n-1}\ast A+a_{n-2}\ast D+a_{n-3}\ast G\\ a_{n-1}=a_{n-1}\ast B+a_{n-2}\ast E+a_{n-3}\ast H\\ a_{n-2}=a_{n-1}\ast C+a_{n-2}\ast F+a_{n-3}\ast I\end{array}\end{array}$$

由$(3)$可得

$$S=\left(\begin{array}{ccc}A=1& B=1& C=0\\ D=0& E=0& F=1\\ G=1& H=0& I=0\end{array}\right)$$

然后就能通过矩阵快速幂得到答案。

首先有

$$\left(\begin{array}{ccc}{f}_{n+2}& f_{n+1}& f_n\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}{f}_{n+1}& f_n& f_{n-1}\end{array}\right)\ast S=\cdots =\left(\begin{array}{ccc}{f}_3& f_2& f_1\end{array}\right)\ast S^{(n-1)}$$

由于$n\ge 1$，因此可以愉快地做题了，由矩阵乘法可得答案就是$f_n=S[0][2]+S[1][2]+S[2][2]$。（矩阵下标从0开始）

Code

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define _u_u_ ios::sync_with_stdio(false), cin.tie(nullptr)
#define cf int _o_o_;cin>>_o_o_;for (int Case = 1; Case <= _o_o_;Case++)
#define SZ(x) (int)(x.size())
inline void _A_A_();
signed main() {_A_A_();return 0;}

using ll = long long;
#define int long long
int mod = 1e9 + 7;
const int maxn = 2e5 + 10;
const int N = 3, M = 5010;
const int inf = 0x3f3f3f3f;
int n;

struct mat
{
    int m[N][N];
};

mat operator * (const mat&a,const mat&b ) {
    mat c;
    memset(c.m, 0, sizeof c.m);
    for (int i = 0;i < N;i++) {
        for (int j = 0;j < N;j++) {
            for (int k = 0;k < N;k++) {
                c.m[i][j] = (c.m[i][j] + a.m[i][k] * b.m[k][j]) % mod;
            }
        }
    }
    return c;
}

mat qpow(mat a, int n) {
    mat c;
    memset(c.m, 0, sizeof c.m);
    for (int i = 0;i < N;i++) c.m[i][i] = 1;
    while (n) {
        if (n & 1) {
            c = c * a;
        }
        a = a * a;
        n >>=1;
    }
    return c;
}

inline void _A_A_() {
    #ifdef LOCAL
    freopen("in.in", "r", stdin);
    #endif
    _u_u_;
    mat s;
    cf {
        memset(s.m, 0, sizeof s.m);
        s.m[0][0] = s.m[0][1] = s.m[1][2] = s.m[2][0] = 1;
        cin >> n;
        s = qpow(s, n - 1);
        cout << (s.m[0][2] + s.m[1][2] + s.m[2][2]) % mod << "\n";
    }
}