【多项式】任意模数 NTT/FTT

现在有两个整数多项式 \(A\)，\(B\)，\(0 \le a_i,b_i \le 10^9\)， \(n \le 10^5\)，求它们的卷积，同时系数对 \(p \le 10^9\) 取模。

我们会发现，最终的系数可能会达到 \(10^5 \times 10^9 \times 10^9=10^{23}\) 级别，FFT 会爆 long double 的精度；NTT，由于模数无特殊性质， 完全不能使用。

接下来介绍三种方法解决任意模数的卷积。前两种又称 \(MTT\)。

传统派——三模 NTT

虽然 NTT 受模数限制系数范围较小，但如果对几个不同的模数同时做 NTT，值域就能乘起来。

具体的，我们选三个 NTT 模数 \(A\)，\(B\)，\(C\)，应有 \(ABC > 10^{23}\)，然后做三次卷积，对于每一个系数，得到

\[\left \{ \begin{aligned} x \equiv x_1 \pmod A \\ x \equiv x_2 \pmod B \\ x \equiv x_3 \pmod C \\ \end{aligned} \right. \]

这当然能用中国剩余定理求解，考虑迭代法。

令 \(k_1A+x_1=x\)，

\(k_1A+x_1 \equiv x_2 \pmod B\)

\(k_1 \displaystyle\equiv \frac{(x_2-x_1)}{A} \pmod B\)

所以得到 \(x \equiv k_1A+x_1 \pmod {AB}\)

重复上述过程与 \(C\) 合并，即可得到 \(x \bmod ABC\)，在最后一次合并时各项对 \(p\) 取模即可。

接下来我们考虑三个模数的选择，可以是 \(469762049=7 \times 2^{26}+1\)，\(998244353=119 \times 2^{23}+1\)，\(1004535809 = 479 \times 2^{21}+1\)，它们原根都是 \(3\)（这玩意有点难记，建议记分解形式）。

三模 NTT 需要做九次 NTT 运算，而且一堆取模，常数较大。

#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
const int N = 1 << 22;
int n, m, len, rev[N], a[3][N], b[3][N];
int x[3][N];
int pow_mod(int a, int b, int p) {
    int res = 1;
    a %= p;
    while (b) {
        if (b & 1) res = res * a % p;
        a = a * a % p;
        b >>= 1;
    }
    return res;
}
const int p[3] = {7 * (1 << 26) + 1, 119 * (1 << 23) + 1, 479 * (1 << 21) + 1};
const int g = 3, gi[3] = {pow_mod(3, p[0] - 2, p[0]), pow_mod(3, p[1] - 2, p[1]), pow_mod(3, p[2] - 2, p[2])};

void init() {
    for (int i = 0; i < len; i++) {
        rev[i] = rev[i >> 1] >> 1;
        if (i & 1) rev[i] |= len >> 1;
    }
}
void NTT(int *a, bool t, int now) {
    const int mod = p[now];
    for (int i = 0; i < len; i++) {
        
        if (rev[i] > i) swap(a[rev[i]], a[i]);
    }

    for (int i = 1; i < len; i <<= 1) {
        int wn = pow_mod(t ? g : gi[now], (mod - 1) / (i << 1), mod);
       
        for (int j = 0; j < len; j += (i << 1)) {
            int wk = 1;
            for (int k = 0; k < i; k++, wk = wk * wn % mod) {
                int x = a[j + k], y = wk * a[i + j + k] % mod;
               // if (now == 1) cout << wk << ' ' << now << endl;
                a[j + k] = (x + y) % mod;
                a[i + j + k] = (x - y + mod) % mod;
            }
        }
    }
    int inv = pow_mod(len, mod - 2, mod);
    if (!t) {
        for (int i = 0; i < len; i++) a[i] = a[i] * inv % mod;
    }
}
signed main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);
    int P;
    cin >> n >> m >> P;
    for (int i = 0; i <= n; i++) cin >> a[0][i], a[1][i] = a[2][i] = a[0][i];
    for (int i = 0; i <= m; i++) cin >> b[0][i], b[1][i] = b[2][i] = b[0][i];
    len = 1ll << max(1ll, (int)(ceil(log2(n + m))));
    init();
    for (int i = 0; i < 3; i++) {
        NTT(a[i], 1, i);
        NTT(b[i], 1, i);
        for (int j = 0; j < len; j++) x[i][j] = a[i][j] * b[i][j] % p[i];
        NTT(x[i], 0, i);
    }
    for (int i = 0; i < n + m + 1; i++) {
    
        int k1 = ((x[1][i] - x[0][i] % p[1]) + p[1]) % p[1] * pow_mod(p[0], p[1] - 2, p[1]) % p[1];
        x[0][i] += k1 * p[0];
        x[0][i] %= p[0] * p[1];
   
        int k2 = ((x[2][i] - x[0][i]) % p[2] + p[2]) % p[2] * pow_mod(p[0] * p[1], p[2] - 2, p[2]) % p[2];
        x[0][i] = (k2 % P * (p[0] * p[1] % P) + x[0][i] % P) % P;
        cout << x[0][i] << ' ';
        
    }
    return 0;
}

速度派——拆系数 FFT

既然一次乘法会溢出，那么分多次乘法加上去就行了。

我们选一个在 \(\sqrt{p}\) 周围的数 \(M\)，将多项式系数拆成 \(CM+D\) 的形式（其中 \(C,D\) 为拆出来的多项式），就有 \(AB=(C_AM+D_A)(C_BM+D_B)=C_AC_BM^2+(D_AC_B+C_AD_B)M+D_AD_B\)。对每一项都进行卷积，然后相加，每一次卷积的值域应该在 \(M^2N=10^{14}\) 左右，可以大力 FFT。

但是如果硬乘，我们要算 \(4 \times3=12\) 次 FFT，考虑到本质上只有四个多项式，我们预处理出它们的 DFT，然后在乘，优化到 \(7\) 次 FFT运算，其中 \(4\) 次 DFT对 \(C_A,C_B,D_A,D_B\)，\(3\) 次 IDFT 对 \(C_AC_B,D_AC_B+C_AD_B,D_AD_B\)。

还是不够快？我们就要用到一些仙术了，合并DFT，可以通过一次 DFT 运算求解两个多项式的 DFT。

合并 DFT

以下的 \(i\) 均为虚数单位。

我们设多项式 \(P(x)=A(x)+iB(x)\)，\(Q(x)=A(x)-iB(x)\)。

如果求解出 \({DFT(P)}，{DFT(Q)}\)，那么就能得到

\(DFT(A)=(DFT(P)+DFT(Q))/2\)

\(DFT(B)=(DFT(P)-DFT(Q))/2i\)

考虑 \(P(w_n^k)=A(w_n^k)+iB(w_n^k)=\displaystyle\sum_{j=0}^{n-1}(a_j+ib_j)w_n^{jk}\)

定理：若 \(a_1,b_1\) 为共轭复数，\(a_2,b_2\) 为共轭复数。则 \(a_1a_2,b_1b_2\) 也为共轭复数（共轭复数指实部相同，虚部相反，记为 \(conj\)）。

这个是易证的，乘出来就行了。

有了这个，我们知道 \(a_j+ib_j\)，\(a_j-ib_j\) 共轭，\(w_n^k\)，\(w_n^{-k}\)共轭，那么就有 \(P(w_n^k)\) 与 \(Q(w_n^{-k})\) 共轭，换句话说， \(conj(DFT(P)[k])=DFT(Q)[n-k]\)）。那么我们只要做一次 \(DFT\) 就可以了。

对于 \(IDFT\)，有一个很奇怪神的做法，因为 \(IDFT\) 后得到的系数肯定是实数，如果乘个 \(i\)，就全是虚数，那么如果把两个点值表示一个放实数，一个放虚数，就可以一次 \(IDFT\) 算出两个多项式的系数了，具体证明我也不会，直观理解吧。

这样最后就是 4 次 \(FFT\) 了，不用常数优化就能有较优秀的复杂度。

精度处理：使用long double；要多取模

#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
#define double long double
using namespace std;
struct Complex{
    double x, y;
    Complex operator + (const Complex &b) const {return {x + b.x, y + b.y};}
    Complex operator - (const Complex &b) const {return {x - b.x, y - b.y};}
    Complex operator * (const Complex &b) const {return {x * b.x - y * b.y, x * b.y + y * b.x};}
    Complex operator / (double k) const {return {x / k, y / k};}
    Complex conj() {return {x, -y};}
    Complex () {}
    Complex(double a, double b) {x = a, y = b;}
};
const int N = 4e5 + 5, M = 1 << 15;
const double pi = acos(-1);
int a[N], b[N], rev[N], n, m, len, mod;
Complex pre[N];
int add(int x, int y) {
    return (x + y) % mod;
}
int mult(int x, int y) {
    return x * y % mod;
}
void init() {
    for (int i = 0; i < len; i++) {
        rev[i] = rev[i >> 1] >> 1;
        if (i & 1) rev[i] |= len >> 1;
    }
    for (int i = 0; i < len; i++) pre[i] = {std::cos(2 * pi * i / len), std::sin(2 * pi * i / len)};
}
void FFT(Complex *a, bool t) {
    for (int i = 0; i < len; i++) {
        if (i < rev[i]) swap(a[i], a[rev[i]]);
    }
    for (int i = 1; i < len; i <<= 1) {
        for (int j = 0; j < len; j += (i << 1)) {
            for (int k = 0; k < i; k++) {
                Complex x = a[j + k], y = a[i + j + k] * (t ? pre[k * len / (2 * i)] : pre[k * len / (2 * i)].conj()); 
                a[j + k] = x + y, a[i + j + k] = x - y;
            }
        }
    }
    if (!t) for (int i = 0; i < len; i++) a[i] = a[i] / len;
}

Complex P1[N], P2[N];
Complex A1[N], A2[N], B1[N], B2[N]; 
void mult(int* a, int *b) {
    for (int i = 0; i < len; i++) P1[i] = {(double)(a[i] / M), (double)(a[i] % M)};
    for (int i = 0; i < len; i++) P2[i] = {(double)(b[i] / M), (double)(b[i] % M)};
    FFT(P1, 1), FFT(P2, 1);
    for (int i = 0; i < len; i++) {
        auto Q = (i == 0 ? P1[0] : P1[len - i]).conj();
        A1[i] = (P1[i] + Q) / 2; 
        A2[i] = (Q - P1[i]) * Complex(0, 1) / 2;
    }
    for (int i = 0; i < len; i++) {
        auto Q = (i == 0 ? P2[0] : P2[len - i]).conj();
        B1[i] = (P2[i] + Q) / 2;
        B2[i] = (Q - P2[i]) * Complex(0, 1) / 2;
       
    }
    for (int i = 0; i < len; i++) {
        auto tmp1 = A1[i] * B1[i], tmp2 = A2[i] * B1[i] + A1[i] * B2[i], tmp3 = A2[i] * B2[i];
        A1[i] = tmp1 + tmp2 * Complex(0, 1);
        A2[i] = tmp3;
    }
    FFT(A1, 0), FFT(A2, 0);
    for (int i = 0; i < n + m + 1; i++) {
        int a = round(A1[i].x), b = round(A1[i].y), c = round(A2[i].x);
        cout << add(add(mult(mult(M, M), a % mod), mult(M, b % mod)), c % mod) << ' ';
    }
}

signed main() {
    
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);
    cin >> n >> m >> mod;
    for (int i = 0; i <= n; i++) cin >> a[i];
    for (int i = 0; i <= m; i++) cin >> b[i];
    len = 1 << max(1ll, (int)ceil(log2(n + m)));
    init();
    mult(a, b);
    return 0;
}

力大砖飞派——int128

直接选一个大于 \(10^{23}\) 的模数，用 int128 做 NTT。

没错，就这样，但是毒点也挺多的，首先要找大模数，可以暴力枚举 \(r \times 2^k+1\) 找，然后用 Miller_rabin 判断素数，最后要 PR 分解质因数找原根……

挺烦的吧，不过，只要你把模数背出来了，上面问题就一个都没有！！！

但是还有几个问题；int128 龟速取模，以及乘法溢出，这对卡常选手自然是手到擒来，像我这种juruo根本玩不来……

这里提供一个很好记的模数（我用python打出来的）：\(1234567*2^{88}+1\)，原根为\(3\)。

总结

三种方法各有优劣，三模 NTT 稳定，但慢；拆系数 FFT 快，但会有精度问题；int128 看起来简单，实际上有一堆小细节……不过呢，这三种算法都有一个同样的特性：写起来很烦（笑）。