上下界 可行/最大/最小 网络流/费用流（有/无源汇）

对网络的定义进行扩展，我们可以得出一堆奇奇怪怪的网络。

上下界

令 $Ma{x}_e$ 为边 $e$ 的流量上界，$Mi{n}_e$ 为边 $e$ 的流量下界，一条边的流量 $f_e$ 要满足 $Mi{n}_e\le f_e\le Ma{x}_e$，除此之外和普通网络流定义相同，可以发现，普通的网络就是下界为 $0$ 的网络。

无源汇

顾名思义，如果抛弃源汇点的设定，对每一个点，都要满足流量守恒，即入流等于出流，那么这就是无源汇的网络流。

有源汇的网络可以通过添加 $T\to S$，下界为 $0$，上界为 $INF$ 的边，变成无源汇网络。

这是一张无源汇上下界网络。

解决扩展网络流的核心就是：转化为普通网络流问题。

无源汇上下界可行流

这个模版是之后的基础，我们也借此来探究如何将带下界的网络流转化成普通的（下界为0）网络流。

首先，每一条边得流满下界，我们就让网络的流量为下界。得到一张下界网络。

但是这个下界网络很可能不满足流量守恒（如果守恒，就结束了），所以我们在原图的基础上，令流量上限为 $Ma{x}_e-Mi{n}_e$，得到一张增量网络。通过对增量网络的调整，来让下界网络+增量网络达到平衡。

如果在下界网络中，一个点入流大于出流，说明在增量网络中这个点需要补偿出流，出流 > 入流，那么就需要超级源点提供入流来平衡。具体提供的入流是，这个点在下界网络中的出入流量差。（这段话可能有点绕，但还是可以形象理解的）。同理，出流大于入流，向超级汇点连边。

总的来说，差量网络中缺什么，增量网络中补什么，通过源汇点反方向的补偿来达到增量网络平衡。

形式化地讲，设 $De{g}_i=I{n}_i-Ou{t}_i$（下界网络中）。并令 $Ma{x}_e-Mi{n}_e$ 为增量网络中每条边的容量。

若 $De{g}_i>0$，则 $S\to i$，容量为 $De{g}_i$。

若 $De{g}_i<0$，则 $i\to T$，容量为 $-De{g}_i$。

在这样一张增量网络中跑最大流，如果每条新增边（连接超级源汇店的边）达到满流，说明原问题存在可行流，反之不存在。

为什么不求具体流量？为什么没有最大流？因为每一个点流量都不一样啊（）。

有源汇上下界可行流

这个就很简单了吧，$t\to s$ 连一条 $INF$ 边，就是上面的问题了。而且我们还能得出可行流的流量是 $t\to s$ 边上的流量。

注意这里要分清楚原来的源汇点，和新建的超级源汇点。$s,t$ 是原网络中的源汇点，$S,T$ 是为了解决无源汇问题新增的超级源汇点，$s,t$ 加边后，它们就是普通的结点了。

有源汇上下界最大流

我们先跑出一条可行流，然后撤掉 $t\to s$ 的边，以 $s,t$ 为源汇点，再跑一遍最大流。把可行流和最大流相加。

这个原理也很好理解，计算出可行流后原网络相当于最大流算法里的残量网络，直接在它上面跑就可以。

$S,T$ 连的边不用撤，因为它们的边已经满流，不会产生影响。

有源汇上下界最小流

这个就很玄学精妙，和最大流一样，只不过从 $t$ 点开始跑最大流，然后可行流减去最大流。这个操作其实是让原网络的反图达到最大流（还记得网络流中是有反向边的吧）。原图自然最小了。

好了，上下界的网络流基本介绍完了，还有费用流，其实万变不离其宗。

无源汇上下界最小/大费用可行流

是在太帅了这个标题。其实很简单啦，把下界网络中的费用一算，然后在增量网络中跑费用流就行了，注意超级源汇点连的边费用为 $0$，因为它们的流本质是补偿下界网络，这部分已经算过了。

其他也是一模一样，把所有最大流改成费用流就行了，所以真的很简单啊。（就是模版容易打错）