【算法学习笔记】线段树

$0.$解决问题

在树状数组那篇博客中，留下了一个坑：

区间修改区间查询

树状数组博客传送门

今天我们就要来解决这个问题

$1.$前置知识

二分

二叉树

都很简单

$2.$ 简介

线段树是一种可以较快维护满足区间可加性区间信息（如：区间和，区间积，区间最大最小等）的数据结构，其基本思想就是二分。

注：区间可加性指一些可以通过子区间信息合并维护的信息，如区间最大就可以由二分后两个子区间最大值得到

$3.$ 基本操作（以区间加和为例，无优化）

约定

以下代码运用到的宏和全局变量及其解释：

#define ls now<<1
#define rs now<<1|1

建树

对于一棵线段树，我们可以递归地建树。根据二分的思想，我们可以每次进行二分，分别建立左子树和右子树，直到递归到叶子结点（即$l=r$）

• pushup操作

pushup操作是用来合并子区间信息的操作，对于区间加和，此操作所干的事就是$sumv_{[l,r]}=sumv_{[l,mid]}+sumv_{[mid+1,r]}$

建树代码如下：

inline void pushup(int now){ sumv[now]=sumv[ls]+sumv[rs]; }
inline void build(int now,int l,int r){
	if(l==r){ sumv[now]=a[l]; return;}
	
	rg int mid=(l+r)>>1;
	build(ls,l,mid);
	build(rs,mid+1,r);
	
	pushup(now);
	
}

单点修改

其实完全不用这样维护

基本思想：二分查找

代码：

inline void change(int now,int l,int r,int x,int v){
	if(l==r){ sumv[now]=v; return; }
	rg int mid=(l+r)>>1;
	if(x<=mid) change(ls,l,mid,x,v);
	else change(rs,mid+1,r,x,v);
	pushup(now);
}

区间修改

二行版

思想：对于一个想要修改的区间$[ql,qr]$，假设你现在到了编号为$now$的节点，其管控的区间为$[l,r]$，中点为$mid$，如果$ql \leq mid$则证明修改区间与$[l,mid]$有相交的部分，需修改左半区间；同理，如果$mid<qr$，则需修改右区间（如下图）

代码如下：

inline void change(int now,int l,int r,int ql,int qr,int v){
	if(l==r){ sumv[now]+=v; return; }
	
	int mid=(l+r)>>1;
	
	if(ql<=mid) change(ls,l,mid,ql,qr,v);
	if(mid<qr) change(rs,mid+1,r,ql,qr,v);
	
	pushup(now);
}

三行版

思想：对于一个想要修改的区间$[ql,qr]$，假设你现在到了编号为$now$的节点，其管控的区间为$[l,r]$，中点为$mid$，如果$ql>mid$，则证明所需修改的区间全部位于右半区间及其以右，修改右区间；同理，如果$qr\leq mid$，需修改右区间。额外的，其他情况则证明修改区间左右兼占，需修改两个区间（如下图）

inline void optadd(int now,int l,int r,int ql,int qr,int v){
	if(l==r){ sumv[now]+=v; return; }
	rg int mid=(l+r)>>1;
	if(ql>mid) optadd(rs,mid+1,r,ql,qr,v);
	else if(qr<=mid) optadd(ls,l,mid,ql,qr,v);
	else optadd(ls,l,mid,ql,qr,v),optadd(rs,mid+1,r,ql,qr,v);
}

注：请注意二行版与三行版关于情况之间关系的不同

区间查询

思想：对于一个查询区间$[ql,qr]$，为了节省时间，只需递归到一个包含于此区间的区间$[l_i,r_i]$即可。$ans=\sum[l_i,r_i]$

注：二行版和三行版思想与上方相同，下同，不再解释

//二行版
inline int query(int now,int l,int r,int ql,int qr){
	if(ql<=l&&r<=qr) return sumv[now];
	rg int mid=(l+r)>>1,ans=0;
	if(ql<=mid) ans+=query(ls,l,mid,ql,qr);
	if(mid<qr) ans+=query(rs,mid+1,r,ql,qr);
	return ans;
}
//三行版
inline int query(int now,int l,int r,int ql,int qr){
	if(ql<=l&&r<=qr) return sumv[now];
	rg int mid=(l+r)>>1,ans=0;
	if(ql>mid) ans=query(rs,mid+1,r,ql,qr,v);
	else if(qr<=mid) ans=query(ls,l,mid,ql,qr,v);
	else ans=query(ls,l,mid,ql,qr,v)+query(rs,mid+1,r,ql,qr,v);
	return ans;
}

$4.$ 线段树的基本优化($lazy$标记)

可以发现，我们在区间修改这一环节时间开销比较大，每次修改都需要递归到叶子结点才可以完成。但是查询时并不需要查找每个叶子节点的值

所以懒惰的人类就有了$lazy$标记这种做法

我们只需要在每次修改时为区间打上一个标记，在需要查询叶子结点时再将标记和修改下放一层，就可以以较小的时间开销完成修改。

$pushdown$操作

$pushdown$操作就是完成上述下放标记的一个操作。首先，很显然的一点是如果当前节点不存在任何标记，我们就不需要对其下放。

代码如下

inline void pushdown(int o,int l,int r){
	if(addv[o]==0) return;
	lazy[o<<1]+=lazy[o];
	lazy[o<<1|1]+=lazy[o];
	int mid=(l+r)>>1;
	sumv[o<<1]+=lazy[o]*(mid-l+1);
	sumv[o<<1|1]+=lazy[o]*(r-mid);
	lazy[o]=0;
}

注：下放标记后必须清零，因为如果不清零，当前区间就相当于多加了一个标记。

$change,query$优化后的做法。

优化后的查询（$query$）操作只需在原有代码递归前进行标记下方即可

优化后的修改操作（$change$）基本形式和查询十分相似，具体见代码

$5.$ 例题

1. $POJ2182$

思路：权值线段树+树上二分查找区间第k大

2. $SP2713\ or\ P1415$ 线段树区间每个数开方+区间和

思路：标记活用或同时维护区间和和区间最大+单点修改\最大树与求和树同时维护

3. $FBI树$

思路：二叉树经典例题，也可以用线段树解决