【算法学习笔记】前缀和与差分

前缀和与差分

本篇博客适合初学者阅读，如有不周之处，欢迎各位大佬指正！

• 0.背景

想象一下，你有一个数组（ 很长很长de那种 ）你需要求出给定一段区间的和，并有多次询问，作为初学者你是否要$\boxed{for}$循环把他们都加起来呢？

• 1.正文

前缀和

前缀和是一个数列A通过递推能够求出来的信息之一，顾名思义就是某个数前面所有单元数值之和。他的公式如下

$$S_i=\sum\limits_{j=1}^iA_j$$

对于给定数列A，我们可以通过如下代码实现前缀和

for(rg int i=1;i<=n;i++){
	S[i]=S[i-1]+A[i]
}

代码中的 $S[i]=S[i-1]+A[i]$ 就是前缀和的递推式

一个问题：如果我们想要求一个区间$[l,r]$的和，我们应该如何实现？

由于$S$代表数列$A$的前缀和，我们想要求一个闭区间的和只需要去掉$l$之前的所有部分就行了

$$ans=\sum\limits_{i=l}^rA_i=S_r-s_{l-1}$$

所以我们就求出了$[l,r]$的和

差分

对于一个给定数列$A$，它的差分数列$C$定义为

$$B_i=A_i-A_{i-1}\text{ } (2\leq i\leq n)$$

差分可以看做前缀和的逆运算

你可以认为$\boxed{\text{前缀和数列}}$的$\boxed{\text{差分数列}}$就是$\boxed{\text{原数列}}$，$\boxed{\text{差分数列}}$的$\boxed{\text{前缀和数列}}$也是$\boxed{\text{原数列}}$

利用差分，我们可以区间多次以$O(1)$复杂度区间修改一个数组

实现方法：

我们将原数组想象为高度不同的一片高楼(如下图)

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