10.4 国庆 环形dp与基环树笔记

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• 环形dp
• 基环树
• T1
• T2
• T3
• T4
• T5
• T6

1.知识点

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环形dp

环形 dp 的概念

• 环形dp与基环树在许多环形结构的问题中，我们可以在环中从某个位置把环断开，把这个环变成线性的，然后进行 $dp$ 等操作。
• 把能通过上述操作解决的环形问题称作 "可拆解的环形问题" 。

环形 dp 的两种策略

• 第一次在任意位置把环断开成链，按照线性问题求解；第二次通过适当的条件和赋值，保证计算出的状态等价于把断开的位置强制相连。
• 把环断成链，然后复制一倍在末尾

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基环树

• $n$ 个点的树共有 $n-1$ 条边，如果再加上一条边，即 $n$ 个点 $n$ 条边，那树中必然会出现一个环。
• 把这种 $n$ 个点 $n$ 条边的联通无向图，即刚好包含一个环的图，称作 "基环树"。
• 如果不保证连通，那么 $n$ 个点 $n$ 条边的无向图也可能是若干棵基环树组成的森林，简称 "基环树森林"。

外向树

• $n$ 个点 $n$ 条边，每个点有且仅有 $1$ 条入边的有向图，被称为 "外向树"。
• $n$ 个点 $n$ 条边，每个点有且仅有 $1$ 条出边的有向图，被称为 "内向树"。

基环树的直径

• 基环树中最长的简单路径被称为基环树的最长链，其长度被称为基环树的直径。

基环树找环

• 自己一个很神奇的方法：

1. 预处理出每个点的 $father$
2. 从某个点开始，一直往它的 $father$ 走，边走边做 $vis$ 标记，当走到一个已经访问过的节点时，便找到了环。

Code:

int find(int u)//从 u 点开始找环
{
	vis[u] = true;
	node = u;
	while (!vis[fa[node]])
	{
		node = fa[node];
		vis[node] = true;
	}
	return node;
	//node 为环的一点
}

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T1

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• $n$ 个点，$m$ 条边。每次从任意一个点出发，每次可以走向一个没有访问过的点，或者沿着第一次访问这个点时经过的边后退到上一个点。
• 每到达一个点时，把这个点的编号记录下来，这样最后会组成一个长度为 $n$ 的序列，期望这个序列的字典序最小，求出这个序列。
• 对于 $60\mathrm{\%}$ 的数据，满足 $n\le 5000$, $m=n-1$。
• 对于 $40\mathrm{\%}$ 的数据，满足 $n\le 5000$，$m=n$。

Solution

• 数据范围提示了做法 /kk。
• $60pts$ 就是白送的，容易可以发现一个性质：到达一个点时，一定要遍历完它的子树后才能返回。
• 题目要求字典序最小，于是用 $vector$ 存图，对每个点的子树内进行排序，最后直接 $dfs$ 即可。
• 而对于另外的 $40pts$，因为 $m=n$，所以这是一棵基环树。
• 手玩一下基环树的样例可以发现，一定有一条边是无法经过的，我们枚举这条边，然后 $dfs$ 即可。
• ps：加强版无法通过，可能是 $vector$ 常数太大了/bx/bx。

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T2

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咕咕咕。

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T3

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• $n$ 个人，每个人都有一个价值，并且每个人都有一个自己讨厌的人（保证不为自己），要求你从这 $n$ 个人里选出若干个人，满足：

1. 每个人与他讨厌的人不能一同选择
2. 选出这若干个人的价值和最大
   • 求出价值和。
   • $n\le {10}^6$

Solution

• 把每个人都向他讨厌的人连一条边，那便是 $n$ 个点 $n$ 条边的基环树。
• 先找到环，并把它断开，然后我们跑两遍树形 $dp$，求这两遍 $dp$ 的最大值。
• $dp$ 的话就不多讲了，就是没有上司的舞会裸题，甚至直接 $copy$ 都行/bx/bx。

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T4

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• $n$ 种物品，每个物品可以限制另一种物品，需要你从中取出若干个物品，满足：

1. 每个物品与它限制的物品不能一起被取出
2. 选出的物品尽量多
   • 求出能选择的最多数量
   • $n\le {10}^6$

Solution

• 与上题类似。$dp$ 时多加了对 $y$ 选边的限制。

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T5

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• 题意自己看。/bx

Solution

• 一个简单的环形 $dp$。
• 我们定义 $dp[i][j][k]$ 表示当前走到 $i$，卖萌了 $j$ 次，当前状态是 $k$，($k=0$ 表示当前没有卖萌，$k=1$ 表示现在正在卖萌)
• 那么有方程

f[i][j][0]=max(f[i - 1][j][0],f[i - 1][j][1])
f[i][j][1]=max(f[i - 1][j - 1][0], f[i - 1][j - 1][1] + u[i])

• 因为是环形，先跑一遍 $dp$，然后把 $1,n$ 都固定正在卖萌，然后再跑一遍 $dp$，取最大值。

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T6

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• $N$ 座仓库，分布在一个 环形 的公路上，编号为 $1-N$，编号为 $i$ 和编号为 $j$ 的仓库之间的距离定义为 $dist(i,j)=min(|i-j|,N-|i-j|)$。
• 编号为 $i$ 仓库的储存量为 $a_i$，在两个仓库间运货的价值为 $a_i+a_j+dist(i,j)$。
• 求出哪两座仓库之间运送货物需要的代价最大。

Solution

• 由于是环形，所以用断环为链的方法，把这个环断开，然后进行线性 $dp$。
• $\mathcal{O}(N^2)$ 的暴力显然很好做，但是 $N\le {10}^6$。
• 首先推出式子 $f_{i,j}=max\{(a_i+i)+(a_j-j)\}$
• 当 $i$ 固定时，$(a_i+i)$ 就确定了下来，然后考虑 $a_j-j$ 的最大值即可。
• 这一步用单调队列优化，于是时间复杂度变成 $\mathcal{O}(N)$。

Code:

for (int i = 2; i <= (n << 1); i ++ )
{
	while (q.size() && q.front() < i - m) q.pop_front();
	ans = max(ans, s[q.front()] - q.front() + s[i] + i);
	while (q.size() && s[q.back()] - q.back() < s[i] - i) q.pop_back();
	q.push_back(i);
}