7.20 图论笔记

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T1

题目

• 在 $N$ 个点 $P$ 条边的加权无向图上求出一条从 $1$ 号结点到 $N$ 号结点的路径，使路径上第 $K+1$ 大的边权尽量小。
• $0\le K<N\le 1000$, $1\le P\le 2000$。

Solution

• 一道自己做出来的蓝。
• 二分第 $K+1$ 大边权为 $mid$，每次把边权 $\le mid$ 的都设为 $0$，否则设为 $1$。
• 从节点 $1$ 跑一次最短路，当 $dist[n]\le mid$ 时则满足条件，否则不满足。
• 正确性显然。

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T2

题目

• 树形黑暗城堡有 $N$ 个房间，$M$ 条可以制造的双向通道，以
及每条通道的长度。
• 设 $D_i$ 为如果所有的通道都被修建，第 $i$ 号房间与第 $1$ 号房间的最短路径长度；
• 而 $S_i$ 为实际修建的树形城堡中第 $i$ 号房间与第 $1$ 号房间的路径长度；
• 要求对于所有整数 $i$ $(1\le i\le N)$，有 $S_i=D_i$ 成立。
• 有多少种不同的城堡修建方案，答案对 $2^{31}-1$ 取模。

Solution

• 简单来说，题目要求最短路径树的数量。
• 最短路径树是网络的源点到所有结点的最短路径构成的树。
• 我们从节点 $1$ 跑一遍最短路。
• 当 $dist[v]=dist[u]+e(u,v)$ 时，表明 $v$ 的最短路是由 $u$ 得到的，那 $e(u,v)$ 就可以作为最短路径树上的边。
• 对每个点计算出它可作为最短路径树上的边的数量，根据乘法原理，乘起来就是答案。

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T3

题目

• 要给 $n$ 口矿井供电。
• 为了保证电力的供应，有两种办法：
$1.$ 在这一口矿井上建立一个发电站，费用为 $v$。
$2.$ 将这口矿井与另外的已经有电力供应的矿井之间建立电网，费用为 $p$。
• 计算保证所有矿井电力供应的最小花费。
• $1\le n\le 300$, $0\le vi,p_{ij}\le {10}^5$。

Solution

• 简单来说，要使每个点所在的联通块的都至少有一个发电站的最小花费。
• 建立一个虚拟源点 $0$，给每口矿井连一条边权为 $v_i$ 的边，跑一遍最小生成树即可。

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T4

题目

• $N$ 头牛（每头牛的编号就是它所在农场的编号）要去参加一场在编号为 $x$ 的牛的农场举行的派对。
• 有 $M$ 条有向道路，每条路长 $T_i$；
• 每头牛都必须参加完派对后回到家，每头牛都会选择最短路径。
• 求这 $N$ 头牛的最短路径（一个来回）中最长的一条的长度。
• $1\le N\le 1000$，$1\le x\le N$。
• $1\le M\le 100000$，$1\le T_i\le 100$。

Solution

• 扇贝题目。
• 先跑一遍各点到 $x$ 的距离，然后再跑一遍 $x$ 到各点的距离即可。
• 但是朴素做法，虽然可以通过此题，但我们考虑优化。
• 建立正图和反图，都以 $x$ 为起点，预处理出到每个点的最短路 $d_1$ 和 $d_2$。
• 正图 $d_1$ 为回家路，反图 $d_2$ 为去 $x$ 的路。
• 枚举每个点的 $d_1+d_2$，取最大值即可。

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T5

题目

• $N$ 个点 $M$ 条边的有向图，边有黑白两种颜色。现在要给点染色，每个点染成黑或白色。
• 白点只能走它连出去的白边，黑点只能走它连出去的黑边。
• 问是否存在一种染色方案，使得不存在一条 $1\to n$ 的路径。如果存在这样的染色方案，在第一行输出 $-1$，否则输出 $\to n$ 最长的最短路径长度，每条边长度为 $1$ 。在第二行，输出对应第一行答案的染色方案。
• $1\le N,M\le 500000$。

Solution

• 考虑从 $n$ 出发进行染色，尽可能让每一条路不可经过，这样也是最大化其他点到 $n$ 的最短路。
• 如果当前为 $u$ ，点 $v$ 和 $u$ 有边，如果只有一种颜色的边，那么这条路是可以禁止经过的，将 $v$ 设置成与边不同的颜色。如果有不同颜色的边，那么 $v$ 的颜色无论怎么染色都可以到达 $u$。
• 从 $n$ 开始进行反向 BFS 。
• 当第一次遍历到未染色的点 $x$，将点 $x$ 设为与边不同的颜色。如果遍历到染色的点，并且染色的点与边颜色相同，说明此点无法避开，加入到队列中，更新到 $n$ 的最短路，直到 $1$ 入队。
• 时间复杂度为 $\mathcal{O}(N+M)$

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T6

题目

• 在一个有 $N$ 个顶点和 $M$ 条边的图上有两个人，分别在 $S$ 号节点和 $T$ 号节点。他们要各自走到对面（即在 $S$ 的人走到 $T$ ，在 $T$ 的人走到 $S$）。
• 给你 $M$ 条边，描述为 $U$ $V$ $D$ 分别表示该边连接的两个点及通过边的时间。
• 求两人经过最短路径（可能有多条）且不相遇（在同一单位时间内都在一条边或一个点上）的方案数。
• $N\le 100000，M\le 200000$。

Solution

咕咕咕。

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T6

题目

• 有一个地铁线路图，可以看做 $N$ 个站点，$M$ 条线路。每条线路由一个公司所有。
• 如果你乘坐同一公司的铁路，只需要花费 $1$ 元，如果更换其他公司铁路，还需要再花费 $1$ 元，如果再次换回原来的公司，还需要花费 $1$ 元。
• 问从 $1$ 号站点到 $N$ 号站点的最小花费。
• $N,M\le 200000$。

Solution

• 由于切换连通块一定会导致答案 $+1$，因此只要统计连通块的个数即可。
• 最朴素的建图方式是：把连在一起的同一城市的道路两端的点放进一个连通块内，块内每个点两两之间连一条权值为 $1$ 的边。但是，边数过大，这样会爆空间。
• 考虑优化。
• 尝试建立虚点。
• 对于每个连通块，建立一个虚点。把连通块内每个点和虚点连一条权值为 $0.5$ 的边。这样，任意两点都能以虚点为中转站来保持距离仍为 $1$。
• 优化后，点的数量不超过 $n+m$，边的数量不超过 $2m$。

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T7

题目

• 三种连边方式：
$1.$ $v->u$ 点到点连边。
$2.$ $v->[l...r]$ 点到区间连边。
$3.$ $[l...r]->v$ 区间到点连边。
• 给定源点，求到所有点的最短路。

Solution

线段树优化建图模板题。
暴力连边必炸，考虑优化。
线段树。
建立两课线段树，一棵 “出树”，一棵“入树”。
“出树”向叶子方向连边，“入树”向根连边，边权均为 $0$。
然后对于点到点连边，直接连即可。
对于点到区间连边，我们采用类似线段树区间修改的方式，递归“出树”找到被区间恰好覆盖的若干个节点进行连边。对于区间到点连边，递归“入树”连边即可。
建图完从源点开始跑一遍最短路即可。