CF1842G Tenzing and Random Operations 题解

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题意

给定一个长度为 $n$ 的正整数序列 $a$，对该序列进行 $m$ 次操作，定义每次操作如下：

从 $[1,n]$ 中等概率选取一个 $i$，对于 $j\in [i,n]$，执行操作 $a_j\leftarrow a_j+v$，其中 $v$ 是给定的常数。

求 $m$ 次操作后 ${\displaystyle \prod _{i=1}^n{a}_i}$ 的期望，对 ${10}^9+7$ 取模。

（$0\le n\le 5000，1\le m,v,a_i\le {10}^9$）。

题解

转化为求全部方案的和。

发现对于任意方案，最终求的式子都形如 $\prod (a_i+v+v+\cdots )$，根据乘法分配律，可以发现每一个整式会有一项产生贡献，若这个整式产生贡献的为一个 $v$，那么这就代表着一定钦定了一个操作选取了 $[1,i]$ 中的点，具体的说，其贡献有如下三类：

1. 选取 $a_i$ 产生贡献；

2. 选取一个已经钦定了的操作产生的 $v$；

3. 钦定一个新的操作并选取其产生的 $v$。

故可以进行 $\mathtt{D}\mathtt{P}$，设 $f_{i,j}$ 表示在 $[1,i]$ 中钦定了 $j$ 个操作的贡献和，那么有如下转移：

1. 在这个整式中选取了 $a_i$，有 $f_{i,j}\leftarrow a_i\times f_{i-1,j}$；

2. 在这个整式中选取了一个已经钦定了的操作产生的 $v$，枚举产生选取的 $v$ 的那个操作，有 $f_{i,j}\leftarrow j\cdot v\times f_{i-1,j}$；

3. 钦定一个新的操作并选取其产生的 $v$，首先考虑从所有未钦定的 $m-j+1$ 个操作中选取一个，接下来考虑将其钦定为 $[1,i]$ 中的哪个点，有 $f_{i,j}\leftarrow (m-j+1)\cdot i\cdot v\times f_{i-1,j-1}$。

那么整个过程中最多钦定 $min\{n,m\}$ 个操作，对于未钦定的操作，由于其未产生贡献，故可以随便选取端点，通过枚举钦定的操作的数量，可以得到答案为

$${\displaystyle \frac{\sum _{i=0}^{min\{n,m\}}{f}_{n,i}\times n^{m-i}}{n^m}}$$

总复杂度 $\mathcal{O}(n\times min\{n,m\})$，可以通过本题。

Code

#include <bits/stdc++.h>

typedef long long valueType;
typedef std::vector<valueType> ValueVector;
typedef std::vector<ValueVector> ValueMatrix;

constexpr valueType MOD = 1e9 + 7;

void Inc(valueType &a, valueType b) {
    a = a + b;

    if (a >= MOD)
        a -= MOD;
}

valueType sum(valueType a, valueType b) {
    return a + b >= MOD ? a + b - MOD : a + b;
}

valueType mul(valueType a, valueType b) {
    return (long long) a * b % MOD;
}

void Mul(valueType &a, valueType b) {
    a = (long long) a * b % MOD;
}

valueType pow(valueType a, valueType b) {
    valueType result = 1;

    while(b > 0) {
        if (b & 1)
            Mul(result, a);

        Mul(a, a);
        b = b >> 1;
    }

    return result;
}

int main() {
    std::ios::sync_with_stdio(false);
    std::cin.tie(nullptr);
    std::cout.tie(nullptr);

    valueType N, M, V;

    std::cin >> N >> M >> V;

    ValueVector A(N + 1);

    for(valueType i = 1; i <= N; ++i)
        std::cin >> A[i];

    valueType const K = std::min(N, M);

    ValueMatrix F(N + 1, ValueVector(K + 1, 0));

    F[0][0] = 1;

    for(valueType i = 1; i <= N; ++i) {
        for(valueType j = 0; j <= K; ++j) {
            Inc(F[i][j], mul(F[i - 1][j], A[i]));
            
            Inc(F[i][j], mul(F[i - 1][j], mul(j, V)));

            if (j > 0)
                Inc(F[i][j], mul(F[i - 1][j - 1], mul(mul(M - j + 1, i), V)));
        }
    }

    valueType ans = 0;

    for(valueType i = 0; i <= K; ++i)
        Inc(ans, mul(F[N][i], pow(N, M - i)));
    
    ans = mul(ans, pow(pow(N, M), MOD - 2));

    std::cout << ans << std::endl;

    return 0;
}