[AGC061A] Long Shuffle 题解

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题意

给定一个满足 $A_i=i$ 的排列 $A$，求对其进行一次 $\mathrm{shuffle}(1,N)$ 操作后其第 $K$ 项的值。其中 $\mathrm{shuffle}(L,R)$ 的定义如下：

• 若 $R=L+1$，那么交换 $A_L$ 和 $A_R$ 的值
• 否则，依次执行 $\mathrm{shuffle}(L,R-1)$, $\mathrm{shuffle}(L+1,R)$

（$1\le T\le 1000,1\le K\le N\le {10}^{18}$）。

题解

通过计算出 $N$ 较小时的情况我们可以发现若 $N$ 为偶数，对于一对下标，在执行操作 $\mathrm{shuffle}(1,n)$ 操作后，有 $2i-1,2i$，有 $A_{2i-1}=2i-1,A_{2i}=2i$ 或 $A_{2i-1}=2i,A_{2i}=2i-1$ 成立。换句话说，就是在 $N$ 为偶数时，只会交换一些相邻且互不相交的数对。

考虑使用归纳法证明，设 $N=2K$，当 $K=1$ 时命题成立，对于 $K>1$ 的情况，可以发现会依次执行如下操作：

• $\mathrm{shuffle}(1,2K-2)$
• $\mathrm{shuffle}(2,2K-1)$
• $\mathrm{shuffle}(2,2K-1)$
• $\mathrm{shuffle}(3,2K)$

可以发现中间两次 $\mathrm{shuffle}(2,2K-1)$ 操作相互抵消，所以只会剩下两个操作区间长度为 $N-2$ 的子操作，故命题成立。

因此在 $N=2K$ 的情况下，只要计算出数对 $2i-1,2i$ 被操作的次数即可计算出对应位置的值。可以发现在初始时区间长度为 $2K$，至最后会缩减至 $2$，每次缩减有两种方案：右移左边界和左移右边界，那么从 $N=2K$ 缩减至数对 $2i-1,2i$ 共需要缩减 $K-1$ 次，只有恰好缩减 $i-1$ 次右边界才能使得最终操作的数对为 $2i-1,2i$，可以计算出方案数为 ${\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{K-1}{i-1})}$。由于交换只有两种状态，那么我们只需要计算出 ${\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{K-1}{i-1})}mod2$ 即可。使用卢卡斯定理直接计算即可在 $\mathcal{O}(\log N)$ 的时间内完成计算。但是存在如下结论：

$${\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{m})}\equiv 1mod2\iff n\mathrm{AND}m=m$$

其中 $\mathrm{AND}$ 表示按位与操作。

证明可以考虑卢卡斯定理的过程，设二进制下 $n$ 的每一位依次为 $a_i$，$m$ 的每一位依次为 $b_i$，那么有

$${\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{m})}mod2=\prod _i{\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{a_i}{b_i})}$$

那么 ${\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{m})}\equiv 1mod2$ 的充要条件即为 $\mathrm{\forall }i,{\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{a_i}{b_i})}=1$，即 $a_i\mathrm{AND}{b}_i=b_i$，即 $n\mathrm{AND}m=m$。

因此我们可以快速计算 ${\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{K-1}{i-1})}mod2$ 的值，若 $N$ 为奇数那么分别计算两次区间长度为偶数的情况即可。

Code

#include <bits/stdc++.h>

typedef long long valueType;

valueType query(valueType N, valueType K) {
    if (((N / 2 - 1) & ((K + 1) / 2 - 1)) == ((K + 1) / 2 - 1))
        return (K & 1) ? K + 1 : K - 1;
    else
        return K;
}

int main() {
    std::ios::sync_with_stdio(false);
    std::cin.tie(nullptr);
    std::cout.tie(nullptr);

    valueType T;

    std::cin >> T;

    for (int testcase = 0; testcase < T; ++testcase) {
        valueType N, K;

        std::cin >> N >> K;

        if (N & 1)
            std::cout << query(N - 1, query(N - 1, K - 1) + 1) << std::endl;
        else
            std::cout << query(N, K) << std::endl;
    }

    return 0;
}