佳佳的 Fibonacci

题面

佳佳对数学，尤其对数列十分感兴趣。在研究完 Fibonacci 数列后，他创造出许多稀奇古怪的数列。例如用 $S (n)$ 表示 Fibonacci 前 $n$ 项和 $mod m$ 的值，即 $S (n) = (F_{1} + F_{2} + . . . + F_{n}) mod m$ ，其中 $F_{1} = F_{2} = 1, F_{i} = F_{i - 1} + F_{i - 2}$ 。可这对佳佳来说还是小菜一碟。

终于，她找到了一个自己解决不了的问题。用 $T (n) = (F_{1} + 2 F_{2} + 3 F_{3} + . . . + n F_{n}) mod m$ 表示 Fibonacci 数列前 $n$ 项变形后的和 $mod m$ 的值。

现在佳佳告诉你了一个 $n$ 和 $m$ ，请求出 $T (n)$ 的值。

一句话题意

设 $F_{n}$ 为 Fibonacci 数列， $S (n) = \sum_{i = 1}^{n} F_{i}$ ，求 $T (n) = \sum_{i = 1}^{n} i \cdot F_{i}$ 。

一句话题解

令 $G (n) = (n F_{1} + (n - 1) F_{2} + (n - 2) F_{3} + . . . + F_{n}) = \sum_{i = 1}^{n} S (n)$ ，则 $T (n) = (n + 1) \times S (n) - G (n)$ 。可以发现 $G (n)$ 是 $S (n)$ 的前缀和，而 $S (n)$ 又是 $F_{n}$ 的前缀和，我们可以考虑在矩阵加速递推的时候一起处理出来这些值。

令 $a n s$ 矩阵为

[\begin{matrix} F_{n} & F_{n - 1} & S (n - 1) & G (n - 1) \end{matrix}]

考虑到 $S (n) = S (n - 1) + F_{n}$ ， $G (n) = G (n - 1) + S (n) = G (n - 1) + S (n - 1) + F_{n}$ ，可以得出 $b a s e$ 矩阵为

[\begin{matrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}]

令 $a n s = a n s \times b a s e^{N - 1}$ ，可以得到 $S (n)$ 和 $G (n)$ ，即可代入求解。

Code

#include<bits/stdc++.h>

long long MOD_;
long long const &MOD = MOD_;

class Matrix {
public:
    typedef long long valueType;
    typedef size_t sizeType;
    typedef std::vector<valueType> Row;
    typedef std::vector<Row> Container;

public:
    sizeType row, column;
    Container data;

public:
    Matrix(sizeType _row_, sizeType _column_) : row(_row_), column(_column_), data(row + 1) {
        for (sizeType i = 1; i <= row; ++i)
            data[i].resize(column + 1, 0);
    };

    Matrix operator*(const Matrix &T) const {
        Matrix result(this->row, T.column);

        for (sizeType i = 1; i <= this->row; ++i) {
            for (sizeType k = 1; k <= this->column; ++k) {
                valueType r = this->data[i][k];

                for (sizeType j = 1; j <= T.column; ++j)
                    result.data[i][j] = (result.data[i][j] + T.data[k][j] * r) % MOD;
            }
        }

        return result;
    }

    friend std::ostream &operator<<(std::ostream &os, const Matrix &T) {
        for (sizeType i = 1; i <= T.row; ++i)
            for (sizeType j = 1; j <= T.column; ++j)
                os << T.data[i][j] << " \n"[j == T.column];

        return os;
    }

    friend std::istream &operator>>(std::istream &os, Matrix &T) {
        for (sizeType i = 1; i <= T.row; ++i)
            for (sizeType j = 1; j <= T.column; ++j)
                os >> T.data[i][j];

        return os;
    }
};

int main() {
    int N;

    std::cin >> N >> MOD_;

    Matrix ans(1, 4), base(4, 4);

    ans.data[1][1] = ans.data[1][2] = ans.data[1][3] = ans.data[1][4] = 1;
    base.data[1][1] = base.data[1][2] = base.data[1][3] = base.data[1][4] =
    base.data[2][1] = base.data[3][3] = base.data[3][4] = base.data[4][4] = 1;

    int M = N - 1;

    while (M) {
        if (M & 1) ans = ans * base;

        base = base * base;

        M = M >> 1;
    }

    long long result = (((N + 1) % MOD) * ans.data[1][3]) % MOD - ans.data[1][4];

    std::cout << (result % MOD + MOD) % MOD << std::flush;

    return 0;
}