ABC309G Ban Permutation

ABC309G Ban Permutation

求有多少个 \(1\) 至 \(n\) 的排列 \(P\)，满足对于任意 \(i\) 都有 \(|i-p_i|\ge X\)。
\(1\le n\le 100\)，\(1\le X\le 5\)。

首先不难将题意转化成车的放置问题：

有一个 \(n\times n\) 的棋盘，要求放置 \(n\) 个互不攻击的车，对于第 \(i\) 行第 \(j\) 列，如果 \(|i-j|<X\)，就不能放置车，求方案数。

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由于 \(X\) 很小，\(|i-j|<X\) 这个条件就是非常好的，所以可以考虑容斥。

设 \(f_{i,j}\) 表示，我们考虑了前 \(i\) 行，至少放置 \(j\) 辆不合法的车的方案数。注意这里我们只计算不合法的车的方案数。那么显然答案为 \(\sum_{i=0}^{n}(-1)^if_{n,i}\)。

那么第 \(i\) 行的放置就有两种可能，不合法与合法。

如果不合法，那么我们就需要枚举不合法的车放置的位置，并且保证这个位置之前没被使用过。

但注意到这个位置的范围随着 \(i\) 的增加始终都是 \([i-X+1,i+X-1]\)，所以就可以加入一个状态 \(S\) 表示这些位置的使用情况。

设 \(S'\) 为 \(i-1\) 行的状态，考虑 \(i-1\to i\) 的过程，\(i-1\) 行所有不合法的状态都要右移，第 \(i-1-X+1\) 个位置变成了合法位置不需要考虑，所以第 \(i\) 行的状态 \(S\) 即为 \(S'\) 右移一位的答案。

那么枚举这一行放置的不合法的位置 \(p\) 并保证 \(p\) 不在 \(S\) 中，令 \(T\) 为 \(S\) 加入 \(p\) 后的结果，那么显然 \(f_{i,j,T}=f_{i-1,j-1,S}\)。

而对于合法情况，直接继承过来第 \(i-1\) 行的答案即可，\(f_{i,j,S}=f_{i-1,j-1,S'}\)。

时间复杂度 \(O(n^24^XX)\)。

const int MAXN(110);
const int M(1024);

int n,x,m;
int fac[MAXN],f[MAXN][MAXN][M];

int main()
{
	n=read(),x=read(),m=1<<(2*x-1);
	fac[0]=1;
	rep(i,1,n) fac[i]=mul(fac[i-1],i);
	f[0][0][0]=1;
	rep(i,1,n) rep(j,0,i-1) rep(S,0,m-1) 
	{
		int T=S>>1;
		f[i][j][T]=add(f[i][j][T],f[i-1][j][S]);
		rep(k,0,2*x-2) if((!(T&(1<<k)))&&i+k+1-x>=1&&i+k+1-x<=n)
			f[i][j+1][T|(1<<k)]=add(f[i][j+1][T|(1<<k)],f[i-1][j][S]);
	}
	int ans=0;
	rep(i,0,n) rep(S,0,m-1)
	{
		int k=(i&1)?MOD-f[n][i][S]:f[n][i][S];
		ans=add(ans,mul(k,fac[n-i]));
	}
	printf("%d\n",ans);
	return 0;
}