决策单调性

DP 计算贡献时，往往需要计算任意两点关于某个函数 \(w(i,j)\) 的最大值，如果 \(w\) 满足一些性质往往可以降低复杂度。

定义四边形不等式满足对于 \(a,b\) 两点 \(a<b\)，且 \(w(a+1,b)+w(a,b+1)\ge w(a,b)+w(a+1,b+1)\)。

这个定理可以推广到，对于 \(a\le b\le c\le d\) 的四个点，如果 \(w(a,d)+w(b,c)\ge w(a,c)+w(b,d)\)，同样满足四边形不等式。

考虑我们现在有一个 \(n\times m\) 的表，第 \(i\) 行第 \(j\) 列上的数位 \(w(i,j)\)，其中 \(i\le j\)，并且满足四边形不等式，需要你计算每一行的最大值。

考虑分治，设 \(f(l,r,L,R)\) 表示我们需要求 \([l,r]\) 行的最优决策点，并且已知这些点都在 \([L,R]\) 列之间。

设 \(mid=\lfloor\frac{l+r}{2}\rfloor\)，我们暴力计算出第 \(mid\) 行的最优决策点 \(p\) 列。

考虑四边形不等式 \(w(a,d)+w(b,c)\ge w(a,c)+w(b,d)\)，令 \(A=w(a,d),B=w(b,c),C=w(a,c),D=w(b,d)\)，那么 \(A+B\ge C+D\)。

考虑第一种移项方式，\(A-C\ge D-B\)，那么，如果 \(D\ge B\)，那么显然有 \(A\ge C\)，那么如果 \(D\) 就是第 \(mid\) 行的最优决策点 \(p\)，那么对于任意列的 \(B\) 都满足 \(D\ge B\)，也就是对于任意的 \(C\) 都满足 \(C<A\)，那么 \([L,p)\) 列永远不可能成为 \([l,mid)\) 行的最优决策点，那么就可以递归到 \(f(l,mid-1,p,R)\)。

同理，第二种移项方式是 \(B-D\ge C-A\)，如果 \(C\ge A\)，那么 \(B\ge D\)，我们把 \(C\) 看作第 \(mid\) 行的最优决策点 \(p\)，那么 \((p,R]\) 列永远不可能成为 \((mid,r]\) 行的最优决策点，递归处理 \(f(mid+1,r,L,p)\)。