题解【CF1149C Tree Generator】
牛逼题 & ZROI Day3 数据结构选讲。
来一波详细的题解。
当时和 \(\texttt{ys}\)，\(\texttt{hy}\) 还有小猴子讨论了半天，一直认为是最大子段和很激动直接就在群里说了，结果被喷了，然后一波周折群友觉得这是十分正确的，然后一波周折又被喷了（
考虑把 ( 看成深度 \(+1\)，) 看成深度 \(-1\)，那么就可以把括号序列看成一个 \(+1\) 和 \(-1\) 的序列。
考虑一条路径的长度如何算，对于一段 \(u\to \operatorname{lca}(u,v)\to v\) 的路径，在括号序列上肯定会被表示成形如 )...)(...( 的一段，路径长度为 ( 括号数量 \(+\) ) 括号数量。
但是，如果路径上还会有一个子树，比如形如 )..()..)(..(，() 是需要忽略不计的。
由此我们得到结论：括号序列上任何一个子区间，去掉所有匹配的括号后，得到的括号序列一定是树上一条链。如果用权值表示法来表示，你会发现其实匹配的括号根本不用管，因为一个 \((+1)\) 和一个 \((-1)\) 都消掉了，如果我们称 )( 为分界点，( 右边的部分为右区间，) 左边的部分为左区间，那么这条路径的长度为，右区间的权值和 \(+\) 左区间权值和的相反数，因为左区间的 ) 我们表示成了 \(-1\)，现在需要算成 \(1\) 的长度。
对此，我们又得到一个结论：对于所有子区间，找到一个分界点，右区间权值和 \(-\) 左区间权值和的最大值，为这个子区间的路径长度最大值。
那么显然，树的直径是对于所有子区间，找到一个分界点后的权值最大值。
交换字符可以看成 \(\Theta(1)\) 的修改，那么很自然地想到用线段树来维护这个东西，且类似于最大子段和。
维护区间答案 \(\text{ans}\)，后缀最大值 \(\text{sm}\)，后缀最小值 \(\text{sn}\)，前缀最大值 \(\text{pm}\)，前缀最小值 \(\text{pn}\)。
但这样是不足以转移的，比如左区间是 ))) 右区间是 ))(，你完全可以一起拼一块儿。
所以我们还要维护一下，紧靠左端点的答案最大值 \(\text{lm}\)，紧靠右端点答案最大值 \(\text{rm}\)，紧靠左右端点的答案最大值 \(\text{lrm}\)，以及区间和 \(\text{sum}\)。
考虑 \(\texttt{pushup}\) 的过程，设 \(u\) 的左右儿子分别为 \(u_0\) 和 \(u_1\)。
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首先很显然的 \(\text{ans}_u\leftarrow \max(\text{ans}_{u_0},\text{ans}_{u_1})\)。
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还可以是左区间已经是包含右端点的完整答案了，右区间在拼上一个
(..(的最长前缀，\(\text{ans}_u\leftarrow \text{rm}_{u_0}+\text{pm}_{u_1}\)。 -
当然完整答案在右区间的情况也同理，\(\text{ans}_u\leftarrow \text{lm}_{u_1}-\text{sn}_{u_0}\)。
前缀最小值 / 最大值都可以通过区间和来转移，考虑 \(\text{lm}\) 的转移，首先可以直接继承 \(\text{lm}_{u_0}\)，还让左区间紧靠左右端点的答案再拼上右端点的 (..(，即 \(\text{lrm}_{u_0}+\text{pm}_{u_1}\)，还可以是右区间选择一个紧靠左端点的答案段 )..)(..(，然后左区间全部选择，只不过这里需要注意取反，\(\text{lm}_{u_1}-\text{sum}_{u_0}\)。\(\text{rm}\) 是同理的。
\(\text{sum}\) 直接将左右区间的 \(\text{sum}\) 加起来就行了。
最后还剩一个 \(\text{lrm}\)，这个很简单，只需要一个区间选择 \(\text{lrm}\) 另一个区间选择 \(\text{sum}\)，同样注意变号的问题：\(\text{lrm}_u\leftarrow\max(\text{lrm}_{u_0}+\text{sum}_{u_1},\text{lrm}_{u_1}-\text{sum}_{u_0})\)。
这样就都处理完毕啦。
code。
