题解【CF1363F Rotating Substrings】

CF1363F Rotating Substrings *2600
解题报告。
不一定更好的阅读体验。

感觉楼上的 DP 状态设计与 DP 转移方程的联系是说不通的，有些地方没有讲明白，所以这篇题解就详细讲一下。

首先，一次操作的本质是，将一个 \(S\) 的一个字符插到前面的某一个位置。

判 -1 是容易的，即对于任意一个字符 \(c\)，在 \(S\) 中的出现次数和 \(T\) 中的出现次数是相等的。

那么我们就可以设 \(f_{i,j}\) 表示将 \(S\) 的长度为 \(i\) 的前缀，插入最少几个字符，使得和 \(T\) 的长度为 \(j\) 的前缀相同。显然这里 \(i,j\) 的大小关系为 \(i\le j\)。

考虑 \(f_{i,j}\) 的转移，首先，我们可以不让 \(s\) 的前缀 \(i\) 和 \(t\) 的前缀 \(j\) 匹配，而是让 \(s\) 的前缀 \(i\) 和 \(t\) 的前缀 \((j-1)\) 进行匹配，这时候会多出一个 \(s_j\) 没有匹配。我们让 \(i\) 之后的某一个 \(s_k=t_j\) 的字符 \(s_k\) 向前移动到 \(i\) 的前面，与 \(s_j\) 进行匹配，花费为 \(1\)。注意，这里一定会找到一个合法的 \(s_k\)，因为每一个字符都是两两配对的。于是我们有状态转移方程 \(f_{i,j}=f_{i,j-1}+1\)。

其次是比较简单的 case，若 \(s_i=t_j\)，那么可以通过 \(f_{i-1,j-1}\) 来继承。\(f_{i,j}=f_{i-1,j-1}\)。

最后一种情况，设 \(x\) 表示 \(s_i\) 在 \(S\) 的前缀 \(i\) 中出现次数，\(y\) 表示 \(s_i\) 在 \(T\) 的前缀 \(j\) 中出现次数。

若 \(x\le y\) 说明了什么？考虑 \(f_{i-1,j}\)，\(S\) 的前缀 \((i-1)\) 与 \(T\) 的前缀 \(j\) 中 \(s_i\) 的数量 \(x',y\) 一定满足 \(x'<y\)。这也就说明，要想完成 \((i-1)\) 和 \(j\) 的匹配，就必须至少把 \(s_i\) 移动到前面。然后再移动若干字符。把 \(s_i\) 移动到前面后再插入若干字符本质上是前缀 \(i\) 与 \(j\) 进行匹配，也就是 \(f_{i,j}\) 的值，所以这个部分就直接继承：\(f_{i,j}=f_{i-1,j}\)。

\(x,y\) 求法可以用一个 \(\Theta(26n)\) 的前缀和搞定，转移的复杂度是 \(\Theta(n^2)\) 的，总复杂度为 \(\Theta(n^2)\)。

代码实现非常简单，不放了，想要的私信我就好。