Nowcoder-小乐乐学数学(树状数组+离线询问)
今天学长刚刚总结的一类题型
给出了两道例题,一道是CF220B
另一个是牛客的这道;
题意(CF220B):
每次询问区间[L,R]有多少个数x出现了刚好x次
题意(牛客):
每次询问[L,R]有多少数字,a[i]满足和区间内的其他数都互质
Trick:
自己总结了一下这样的题的一个算是一个通用的trick吧,首先是对于多次询问的题目 ,
然后因为我们需要把询问离线到端点上(具体操作看代码就懂),所以每次询问所涉及到的数字必须是在区间[L,R]内的,就是说区间外的数并不对区间内产生直接的影响,
然后一般是询问区间的内的点对这类问题,因为找 点对 比较好的入手的方式就是看每个点的贡献,但是每次询问又不能扫一遍区间,所以我们只扫一遍区间,在端点上记录询问信息
思路(牛客):
Q1:考虑一个数需要满足什么样的条件和区间所有的数都互质
A1: 这个质因子分解后和所有的数都没有共同的质因子
那么首先我们需要在logn的时间复杂度内求出一个数的所有质因子(因为需要对每一个数都要质因子分解)
Q2:对于当前的数x,质因子分解后得到p1,p2,p3怎么计算贡献
A2:假设我们知道p1,p2,p3上一次出现的位置即[1,i-1],找一个最大值ma,那么区间[ma+1,i]这一段的贡献一定是1
Q3:怎么消除一个位置的贡献
A3:消除和添加这里都选择用树状数组实现,维护差分序列,维护单点修改,区间查询
操作细节:
假设当前操作到的数字是a[i],质因子分解后是p1,p2,p3
首先找到Q2的ma,然后单点修改两个点的值
然后
找到p1,p2,p3上一次出现的位置 (如果是第一次消除这个位置的贡献,那么这个位置的贡献一定是1) 单点修改值
p1,p2,p3被修改为1的时候他们都各自有一个ma1,ma2,ma3被修改为-1,消除贡献的时候要把ma1,ma2,ma3改回0
具体操作看代码
CODE:
#include "bits/stdc++.h" using namespace std; typedef long long ll; const int maxn = 2e5 + 7; #define mst(x, a) memset(x, a, sizeof(x)) #define rep(i, a, b) for (int i = (a); i <= (b); ++i) int n, m, a[maxn], ans[maxn]; vector<pair<int, int>> e[maxn]; int pos[maxn], pre[maxn], flag[maxn]; int t[maxn]; int lowbit(int x) { return x & (-x); } void add(int x, int op) { if (x == 0) return; while (x <= n) { t[x] += op; x += lowbit(x); } } int query(int x) { int res = 0; while (x > 0) { res += t[x]; x -= lowbit(x); } return res; } int xx, p[maxn], mi[maxn], vis[maxn]; void oula() { for (int i = 2; i < maxn - 2; i++) { if (vis[i] == 0) p[++xx] = i, mi[i] = i; for (int j = 1; j <= xx && i * p[j] < maxn - 2; j++) { vis[i * p[j]] = 1; mi[i * p[j]] = p[j]; if (i % p[j] == 0) break; } } } int main() { ios::sync_with_stdio(false); cin.tie(0), cout.tie(0); oula();/*预处理出每个数的最小质因子*/ while (cin >> n >> m) { rep(i, 1, n) cin >> a[i], t[i] = pos[i] = flag[i] = pre[i] = 0; rep(i, 1, n) e[i].clear(); rep(i, 1, m) { int x, y; cin >> x >> y; /*将询问离线到端点*/ e[y].push_back({x, i}); } for (int i = 1; i <= n; i++) { /*logn的质因子分解*/ int t = a[i]; set<int> s; while (t > 1) { int mm = mi[t]; s.insert(mm); t /= mm; } /*找出距离i最近的一个质因子(其最后一次出现的位置)*/ int ma = 0; for (auto num : s) ma = max(ma, pos[num]); /* 消除 相同质因子的贡献 */ for (auto num : s) { if (flag[pos[num]] == 0) { add(pos[num], -1); if (pre[pos[num]]) add(pre[pos[num]], 1); flag[pos[num]] = 1; } } /*更新每个质因子最后一次出现的位置*/ for (auto num : s) pos[num] = i; add(i, 1); pre[i] = ma; add(ma, -1); for (auto fr : e[i]) ans[fr.second] = query(i) - query(fr.first - 1); } rep(i, 1, m) cout << ans[i] << endl; } return 0; } /* */