博弈论个人笔记总结
博弈论
简单易懂的博弈论讲解(巴什博弈、尼姆博弈、威佐夫博弈、斐波那契博弈、SG定理) - The_Virtuoso - 博客园 (cnblogs.com)
尼姆博弈（Nim）游戏
引入 ：
- 假设先手为$X$,后手为$Y$
- 先假设有两堆石子，数量分别为 a,b, 如果 $a \neq b\ and\ a >b$ ,$X$选石子$x$个让$a-x = b$ ,然后$Y$只能任选石子个数$k$个导致$a \neq b$,然后$X$跟着$Y$在另外一堆选$k$个,那么还是回到$a = b$,循环那么最终$a = b = 0$,$Y$是没法再取,$Y$失败, 同理如果开局$a = b$ ,则$X$必败
- 在这里 $a = b$为先手必败态，$a\neq b$ 为先手必胜态
推广:
- 假设有n堆石子呢， 我们该怎么办，我们可以想到异或的性质，二进制同位相同异或值为0，否则为1
- 假设有3堆石子数量二进制表示$a = 1100,b = 1001 ,c = 0101$ ,$a$ ^ $b$ ^ $c = 0$
- 正常情况是可以压缩为只有两堆石子那样,$X$取多少,$Y$取多少
- 如果$X$挣扎在$a$石堆中取$1010$,那么剩余的石子堆中$a = 0010,b = 1001,c = 0101$中均没有那么大的数,即$Y$不能取相同的数
- 让 $S = a$$b$$c$那么$Y$只需要在剩余石堆中寻找符合的( $Value$^S$ \le Value$ 也就是让该石堆的数量为其余石堆的异或值 )即石堆b取掉$b - b$^S,那么$\ \ b -> b$^$S$
- 结束后$a = 0010,b = 0111,c = 0101$,那么再次,$a$ ^ $b$ ^ $c = 0$
- 也就是说如果只要开局$a_1$ $a_2$...^$a_n = 0$,不管$X$怎么操作,$Y$永远都可以让$a_1$ $a_2$...^$a_n = 0$,直到取完,$X$失败
- 同理开局$a_1$ $a_2$...^$a_n \neq 0$,$X$都可以让$a_1$ $a_2$...^$a_n \neq 0$,直到取完,$Y$失败
总结 :
- $a_1$ $a_2$...^$a_n \neq 0$ 先手必胜态
- $a_1$ $a_2$...^$a_n = 0$ 先手必败态
#include<cstdio>
using namespace std;
int k,a[500002];
int main(){
scanf("%d",&k);
int s=0;
for(int i=1;i<=k;i++)
scanf("%d",&a[i]), s^=a[i];
if(!s) return puts("lose"),0;
for(int i=1;i<=k;i++){
if((a[i]^s)>=a[i]) continue;
printf("%d %d\n",(a[i]-(a[i]^s)),i);
a[i]=a[i]^s; break;
}
for(int i=1;i<=k;i++) printf("%d ",a[i]);
return 0;
}
题目 :
- Luogu P2197 【模板】nim 游戏
- Luogu P1247 取火柴游戏
- Luogu P1288 取数游戏 II
- SHOI2008]小约翰的游戏
- NOIP2010 普及组] 三国游戏
- Luogu P1290 欧几里德的游戏
- SHOI2002]取石子游戏|【模板】威佐夫博弈
台阶型 Nim游戏
主要思想 :
- $a_1$ $a_3$$a_5$...^$ \neq 0$ 先手必胜态
- $a_1$ $a_3$$a_5$...^$ = 0$ 先手必败态
expand :每人每次可以从$[1,d]$堆中各取任意多个石子 ?
1int read(){2 int x=0,f=0,ch;3 while(!isdigit(ch=getchar()))f|=ch=='-';4 while(isdigit(ch))x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48),ch=getchar();5 return f?-x:x;6}cpp
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
int T,n;
int a[1005],b[1005];
int main(){
cin>>T;
while(T--){
cin>>n;
for(int i=1;i<=n;i++) cin>>a[i];
sort(a+1,a+n+1);
for(int i=n;i>=1;i--)b[n-i+1]=a[i]-a[i-1]-1;
int s=0;
for(int i=1;i<=n;i+=2) s^=b[i];
if(s) puts("Georgia will win");
else puts("Bob will win");
}
}
题目 :
Nim游戏 SG函数
主要思想 :
DFS树林 转化为 多堆石堆子
如何转换 ?
因为 parent = MEX{childs...}
if parent == 0 : child must >= 0 so child of child must have 0 这棵树一定是没用的
else parent != 0 next must < parent => 石堆子
补充 :
- mex运算 这是一个施加于集合的运算，表示求出这个集合中最小的没有出现过的非负整数，比如 mex{0,2,3} = 1,mex{1,2} = 0,mex{} = 0
int f[N];
/*
* 递归运算 :
* parent = MEX{childs...}
* Tree : if root == 0 ,这棵树没有意义
* if root != 0 ,change => Nim多堆石子问题
* 扩展 :
* if parent 和 child 存在一种可推断关系即可转化为 sg问题
*/
int sg(int u){
if(f[u]!=-1) return f[u]; // 记忆化搜索
set<int> S; // 把子节点的sg值插入集合
/* TODO : parent about child connections
*
* for(int i=h[u];i;i=ne[i]) // there is edge
* S.insert(sg(to[i])); // mex运算求当前节点的sg值并记忆/
*/
for(int i=0; ;i++)
if(!S.count(i)) return f[u]=i;
}
题目 :
- LOJ 10243. 移棋子游戏
- 集合型 Nim游戏
- POJ2311 Cutting Game
威佐夫博弈
题面 :有两堆各若干个物品，两个人轮流从任一堆取至少一个或同时从两堆中取同样多的物品，
规定每次至少取一个，多者不限，最后取光者得胜。
主要思想 : 枚举
公式 : $\frac{\sqrt{5} + 1}{2} * (n-m) == m .其中 n > m$
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main()
{
int n,m;
float eqa=(1+sqrt(5))/2;
while(cin>>n>>m){
if(n>m) swap(n,m);
int dif=m-n;
if(int(dif*eqa)==n) cout<<"0"<< '\n';
else cout<<"1"<< '\n';
}
return 0;
}
/* 进阶级题型 : win输出 取法 枚举....*/
巴什博奕
题面 : 只有一堆n个物品，两个人轮流从这堆物品中取物，规定每次至少取一个，最多取m个。最后取光者得胜。
主要思想 :
- 什么是博弈论 ? 必胜 => 必败 => 必胜 => ...... , 最终令一个必败
- 那么从小反推到大, cnt <= m 必胜, 怎么由必败态转化来 ? 那就是 在(m+1,2 * m)中只有m+1满足
公式 : $n % (m+1) == 0$
题目 :
