生成函数学习笔记

配套练习总地址 后面将只会写出题号（如：CF666D ），题解+代码都可以在这里找到。

学习博文是 多项式计数杂谈 ，结合了一些别的东西和自己的理解。

前置

• 建议看看 《具体数学》或者至少手头上有书
• 确保你会 1 2 3 中大部分的基础内容，不至于推出式子不会算。

微积分常用公式

求导线性性 ：

\[\begin{cases} (F(x)+G(x))'=F'(x)+G'(x)\\\\ (c*F(x))'=c*F'(x) \end{cases} \]

基本求导法则 ：

\[(C')=0\\\\ (x^k)'=kx^{k-1}\\\\ (e^x)'=e^x,(\ln(x))'=\dfrac 1x\\\\ (a^x)'=a^x\ln a,(\log_ax)'=\dfrac 1{x\ln a}\\\\ (\sin x)'=\cos x,(\cos x)'=-\sin x\\\\ (F(x)G(x))'=F'(x)G(x)+F(x)G'(x)\\\\ \left(\dfrac{F(x)}{G(x)}\right)'=\dfrac{F'(x)G(x)-F(x)G'(x)}{G^2(x)} \]

链式法则 ：\(\dfrac{d}{dx}\dfrac{dx}{dz}=\dfrac{d}{dz}\)

复合函数求导 ：（使用链式法则）

\[G(F(x))\dfrac{d}{dx}=G(F(x))\dfrac{d}{dF(x)}\dfrac{dF(x)}{dx}=G'(F(x))F'(x) \]

洛必达法则 ：

如果 \(\lim\limits_{x\to x_0}F(x)=0\) ，\(\lim\limits_{x\to x_0}G(x)=0\) ，且 \(G'(x)\neq 0\) ，那么有

\[\lim_{x\to x_0}\dfrac{F(x)}{G(x)}=\lim_{x\to x_0}\dfrac{F'(x)}{G'(x)} \]

常见不定极限的形式有 \(\dfrac{\infin}{\infin},\infin-\infin,0*\infin\) ，经过一些变化都能变成 \(\dfrac{0}{0}\) 形式。

泰勒展开及牛顿迭代 ：见 多项式基础学习笔记(1) 相关部分。

有限微积分

可以参考 《具体数学》2.6 有限微积分和无限微积分 .

无限微积分基于由

\[Df(x)=\lim_{h\to 0}\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} \]

定义的微分算子 \(D\) ，逆运算为 \(\int\) .

有基本规则（就是求导那个最简单的式子）：\(D(x^m)=mx^{m-1}\) .

有限微积分基于由

\[\Delta f(x)=f(x+1)-f(x) \]

定义的差分算子 \(\Delta\) ，逆运算为 \(\sum\) .

对于 \(\Delta\) ，下降幂有类似的优美规则：\(\Delta(x^{\underline m})=mx^{\underline{m-1}}\) ，是基本的阶乘结果。

对下降幂求和，类似 \(\int x^k=\dfrac{x^{k+1}}{k+1}\) ，有 \(\displaystyle\sum\limits_{i=0}^{n-1}i^{\underline k}=\dfrac{n^{\underline{k+1}}}{k+1}\) 。特别地，当 \(k=-1\) 时，有 \(\sum\limits_{i=0}^{n-1}i^{\underline{-1}}=\sum\limits_{i=1}^n\dfrac 1i\) 。

定义移位算子 \(Ef(x)=f(x+1)\) ，有分部求和法则：\(\displaystyle \sum u\Delta v=uv-\sum Ev\Delta u\) .

阶乘幂的性质

阶乘幂就是上升幂和下降幂的统称。

\[x^{\underline{a+b}}=x^{\underline a}(x-a)^{\underline b},x^{\overline{a+b}}=x^{\overline a}(x+a)^{\overline b}\\\\ x^{\underline n}=(-1)^n(-x)^{\overline n},x^{\overline n}=(-1)^n(-x)^{\underline n} \]

下降幂多项式：《具体数学》5.3 处理的技巧 - 技巧2：高阶差分 里面提到，能将通常幂表示成下降幂的和式。下降幂的求和是相当容易的（见上面的式子）。

二项式反演

这里简单给出二项式反演的两个形式。

\[f(n)=\sum\limits_{i=n}^m{i\choose n}g(i)\Leftrightarrow g(n)=\sum\limits_{i=n}^m(-1)^{i-n}{i\choose n}f(i) \]

（听说下面那种更常用……可能我做题比较少）

\[f(n)=\sum\limits_{i=0}^n{n\choose i}g(i)\Leftrightarrow g(n)=\sum\limits_{i=0}^n(-1)^{n-i}{n\choose i}f(i) \]

二项式反演+下降幂的两道练习题：

P4921 ：二项式反演+简单容斥

CF755G ：二项式反演+组合+化下降幂

生成函数

幂级数和封闭形式

\(F(x)=\sum\limits_{i=0}^{\infin}F[i]x^i\) 被称为 幂级数 ，系数 \(F[i]\) 可以看做一个数列。那么幂级数也可以用如下方式得到：对于一个数列，将每个数附上 \(x\) 的幂，得到一个幂级数。例如，数列 \(\left<1,1,\cdots\right>\) 所得到的幂级数是 \(F(x)=\sum\limits_{i=0}^{\infin}x^i\) ，观察 \(F(x)\) 和 \(xF(x)\) ，有 \(F(x)=xF(x)+1\) ，于是有：\(F(x)=\dfrac{1}{1-x}\) ，这就是它的生成函数。

这里可能会产生一个问题：\(F(x)\) 收敛当且仅当 \(|x|<1\) ，但 幂级数收敛只是构造的条件 ，而非自然推导的产物。

一种理解是 多项式基础学习笔记(1) 开头提到的界的概念， \(\displaystyle\sum\limits_{i=0}^{\infin}x^i\bmod x^n=\sum\limits_{i=0}^{n-1}x^i=\dfrac{1-x^n}{1-x}\) 有界。

另一种可以参看 rqy 的博文：浅谈 OI 中常用的一些生成函数运算的合法与正确性 .

类似 \(\dfrac{1-x^n}{1-x}\) 这样，相对和式或递归式更加简洁的式子，称为 “封闭形式” 。一些推导封闭形式的方法可以自行查阅《具体数学》，这里仅仅列举将和式转化为封闭形式的常见方式：

• 归纳法
• 扰动（就是将某一项（通常是头尾）剥离或加入进去，从而得到便于计算的式子），并利用交换求和次序等一些推式子常用技巧，或是将式子一般化（复杂化），然后再简化
• 成套方法（对于递推式建立的一般方法）
• 用积分替换和式，有限微积分
• 生成函数

\(\left<1,a,a^2,a^3,\cdots \right>\to F(x)=axF(x)+1\) ，所以 \(F(x)=\dfrac{1}{1-ax}\) 。类似这样的推导是很常见的手段之一：将递推式适当乘上 \(x\) 的幂次然后错位，用 \(F(x)\) 表示它自己，进而得到封闭形式。

下面将给出一些数列的推导。

Eg 1. 斐波那契数列

令 \(F[i]\) 表示数列第 \(i\) 项，\(F[0]=0,F[1]=1\) .

首先，写成生成函数的形式：\(F(x)=\sum\limits_{i=0}^{\infin}F[i]x^i\) 。然后，利用上面的错位技巧，结合斐波那契数列的递推式和前两项有关，不难想到用 \(xF(x),x^2F(x)\) 来推导：

\[\begin{aligned} F(x)=\sum_{i=1}F[i]x^i, xF(x)=\sum_{i=1}F[i-1]x^i,x^2F(x)=\sum_{i=2}F[i-2]x^i \end{aligned} \]

由于 \(F[i]=F[i-1]+F[i-2]\) ，所以相加得到：

\[xF(x)+x^2F(x)=F[0]+\sum_{i=2}(F[i-2]+F[i-1])x^i=F[0]+\sum_{i=2}F[i]x^i=F(x)-x \]

于是就有

\[F(x)=\dfrac{x}{1-x-x^2} \]

这个封闭形式能求出斐波那契的通项公式 虽然没那么好看 ：

令 \(x_1,x_2\) 为 \(1-x-x^2\) 的两实根，有

\[F(x)=\dfrac{x}{(x-x_1)(x-x_2)}=x\cdot \dfrac{1}{x_2-x_1}\cdot \left(\dfrac{1}{(x-x_1)}-\dfrac{1}{(x-x_2)}\right) \]

发现对 \(\dfrac{1}{x-x_1}\) 的分母取相反数，可以得到一个类似 \(\dfrac{1}{1-x}\) 的形式（别忘了，我们要求通项！所以必须要逆用封闭形式），那么考虑将它转化成这个形式

\[F(x)=\dfrac{x}{x_2-x_1}\cdot\left(\dfrac{1}{x_2}\cdot\dfrac{1}{1-x/x_2}-\dfrac{1}{x_1}\cdot\dfrac{1}{1-x/x_1}\right) \]

直接逆用封闭形式就能得到

\[F(x)=\dfrac{x}{x_2-x_1}\cdot \left(\dfrac{1}{x_2}\sum_i\dfrac{x^i}{x_2^i}-\dfrac{1}{x_1}\sum_i\dfrac{x^i}{x_1^i}\right) \]

提出 \([x^n]\) ，然后将 \(x_1,x_2\) 实值带入即可。

Eg 2. 特征方程(解二阶递推式)

一阶的成套方法可以在《具体数学》第二章中找到。

求解 \(F[n]=a*F[n-1]+b*F[n-2]\) 的通项公式，其中 \(F[0],F[1]\) 已知。

不妨设 \(F\) 是一个公比为 \(q\) 的等比数列，将所有 \(F[]\) 换成 \(F[n-2]\) 并用 \(n\to n-2\) 得

\[q^2F(n)=aq*F(n)+bF(n)=>q^2-aq-b=0 \]

设得到的两根为 \(q_0,q_1\) ，那么 \(F[n]=x_0q_0^n+x_1q_1^n\) 也必然满足递推公式，所以只需要用 \(F[0],F[1]\) 求出 \(x_0,x_1\) 即可。

Eg 3. 常系数齐次线性递推(获取封闭形式)

设对于数列 \(F\) 和递推系数 \(C\) ，当 \(n\ge k\) 时有 \(C[0]=1\) ，\(\displaystyle \sum\limits_{i=0}^kC[i]F[n-i]=0\) ，那么称 \(F\) 满足 \(k\) 阶线性常系数递推关系。令 \(F(x)\) 为 \(F[n]\) 的生成函数，构造

\[F_t(x)=C[t]x^t\left(F(x)-\sum_{i=0}^{k-t-1}F[i]x^i\right) \]

提出上式的 \([x^n]\) 系数，得到的 \([n\ge k]C[t]F[n-t]\) 就符合定义式，所以 \(\displaystyle\sum_{t=0}^kF_t(x)=0\) ，即

\[\sum_{t=0}^kC[t]x^t\left(F(x)-\sum_{i=0}^{k-t-1}F[i]x^i\right)=0\\\\ =>\left(\sum_{t=0}^kC[t]x^t\right)F(x)=\sum_{t=0}^{k-1}\left(C[t]x^t-\sum_{i=0}^{k-t-1}F[i]x^i\right) \]

左式是 \(C\) 的生成函数，右边次数小于 \(k\) ，设为 \(P(x)\) ，得到 \(C(x)F(x)=P(x)\) ，即 \(F(x)=\dfrac{P(x)}{C(x)}\) 。

这样就得到了 \(F\) 的生成函数。

\(\huge\color{red}具体操作咕咕咕，待填坑\)

Eg 4. 卡塔兰数

\(C[0]=1\) ，\(C[n]\) 表示 \(n\) 对括号的合法序列个数。有 \(C[n+1]=\sum_{i=0}^nC[i]C[n-i]\) 。

令其自卷，得到

\[C^2[k]=\sum_{i=0}^kC[i]C[k-i]=C[k+1] \]

而 \(C[k+1]\) 的幂级数是 \(\dfrac{C(x)-1}{x}\) （相当于是整个 \(C[k]\) 序列平移到了 \(C[k+1]\) 序列），所以有

\[C(x)^2=\dfrac{C(x)-1}{x}=>C(x)=\dfrac{1\pm \sqrt{1-4x}}{2x} \]

而生成函数有重要假设是其收敛，那么只需要验证 \(\lim_{x\to 0}C(x)=C[0]=1\) 即可，发现必须取负号。

由广义二项式定理，有 \(\displaystyle\sqrt{1-4x}=\sum\limits_{i=0}^{\infin}\binom{1/2}{i}(-4x)^i\) ，所以可以得到系数

\[C[k+1]=\dfrac{1+\binom{1/2}{k}(-4x)^i}{2} \]

另一种方式是用广义二项式级数得到：（参见《具体数学》5.4 生成函数 ）

\[\mathcal{B}_2(z)=\sum_k\binom{2k}{k}\dfrac{z^k}{1+k}=\sum_k\binom{2k+1}{k}\dfrac{z^k}{1+2k}=\dfrac{1-\sqrt{1-4z}}{2z} \]

系数即为 \(\displaystyle \binom{2n}{n}\dfrac{1}{n+1}\) .

生成函数组合计数初步

组合对象

一般指满足某一性质的图、串等对象组成的集合 \(A\) ，每个元素 \(a\in A\) 被定义了一个函数 \(siz(a)\) （如节点个数、串长），对于某个固定的 \(n\) ，记 \(siz(a)=n\) 的 \(a\) 的个数为 \(A[n]\) .

OGF

基本概述

普通生成函数 ordinary generating function

数列 \(F[n]\) 的 OGF 为 \(F(x)=\sum\limits_{i=0}F[i]x^i\) 。例如：

\[\{0,1,\dfrac 12,\dfrac 13,\dfrac 14,\cdots\}\xrightarrow{OGF}\ln\dfrac{1}{1-x}=-\ln(1-x)\\\\ \{1,1,\dfrac{1}{2!},\dfrac{1}{3!},\cdots\}\xrightarrow{OGF}e^x \]

无标号对象的笛卡尔积

集合 \(A_1,A_2,\cdots,A_n\) 的笛卡尔积为 \(\{(a_1,\cdots ,a_n)||a_1\in A_1,a_2\in A_2,\cdots ,a_n\in A_n\}\) ，记为 \(A_1\times \cdots \times A_n\) ，也就是从每个集合中各取一个元素形成的有序多元组集合。

对于两个无标号组合对象 \(A,B\) ，令 \(D=A\times B\) ，且 \(D\) 中的每个元素 \(d\) 为二元组 \((a,b)\) ，\(a\in A,b\in B\) ，\(siz(d)=siz(a)+siz(b)\) ，于是有 \(D(x)=A(x)*B(x)\) .

其实就是一个类似背包的思想，\(A\) 里面拿一个，\(B\) 里面拿一个，拼成 \(D\) 里的那个。

Eg 骨牌问题

有若干种颜色互不相同的骨牌，其中长度为 \(i\) 的骨牌有 \(A[i]\) 种，每种可以无限使用，求不重叠铺满 \(n\) 个长度的方案数。

不难想到 \(A(x)^k\) 就是 \(k\) 个骨牌拼接的方案数（可以类比矩阵加速中，计算经过 \(k\) 条路之后的可达性的问题，更好理解），那么生成函数就是 \(\dfrac{1}{1-A(x)}\) ，求逆即可。

一个子问题就是斐波那契数，可以看做 \(\{1,2\}\) 的拼接序列。

另一个子问题：P4451 ，骨牌+二次剩余+特征方程

实战演练

UVA12298 ：背包+笛卡尔积

CF438E ：构造式子

CF917D ：树形DP+Prufer结论+组合意义

EGF

基本概述

指数型生成函数 exponential generating function

对于数列 \(F[n]\) ，其 EGF 为 \(F(x)=\sum\limits_{i=0}F[i]\dfrac{x^i}{i!}\) 。两个 EGF 的乘法如下：

\[\dfrac{(F*G)[k]}{k!}=\sum_{i+j=k}\dfrac{F[i]}{i!}\dfrac{G[j]}{j!}\\\\ (F*G)[k]=\sum_{i+j=k}\dfrac{k!}{i!j!}F[i]G[j]=\sum_{i+j=k}\binom{k}{i}F[i]G[j] \]

常见 EGF 的例子：

\[\{1,1,\cdots\}\xrightarrow{EGF}e^x,\{1,-1,1\cdots \}\xrightarrow{EGF}e^{-x}\\\\ \{1,c,c^2,\cdots \}\xrightarrow{EGF}e^{cx}\\\ \{1,a,a^{\underline 2},a^{\underline 3},\cdots \}\xrightarrow{EGF}(1+x)^a \]

有标号对象的笛卡尔积

两个有标号对象 \(a,b\) ，设其标号为 \(1\sim siz(a),1\sim siz(b)\) ，拼接得到 \(c\) 的方案数为 \(\displaystyle\binom{siz(a)+siz(b)}{siz(a)}\) ，也就是从 \(siz(a)+siz(b)\) 中选出 \(siz(a)\) 个给 \(a\) 中的元素，如果不能理解自行学习高中数学排列组合。

Eg 染色问题

rbg 三种颜色染色一个长度为 \(n\) 的纸条，使得颜色 r b 的个数是偶数，求方案数。

我们可以分别求出单个染色的 EGF 然后再合并（也就是 EGF 卷积），而单个染色的 EGF 分别是 \(e^x,\dfrac{e^x+e^{-x}}{2}\) ，前一个是 \(\{1\cdots\}\) 的 EGF ，后一个用 \(\{1\cdots\}\) 及其符号交替形式不难得到。相乘就得到：

\[\dfrac{e^{3x}+2e^x+e^{-1}}{4},ans[n]=\dfrac{3^n+2+(-1)^n}{4} \]

实战演练

HDU1521 \(n\) 种物品选出 \(m\) 的排列数，直接 EGF 卷积。

P5219 结论：\(n\) 点最大度数为 \(m\) 的树的个数为 \(G(n,m-1)-G(n,m-2)\) ，\(G(n,m)\) 为 \(\left(\sum\limits_{i=0}^m \dfrac{x^i}{i!}\right)^n\) 的第 \(n-2\) 项。

P5339

exp 的组合意义

\(\exp F(x)\) 的展开式为 \(\sum\limits_{i=0}\dfrac{F(x)^i}{i!}\) ，如果将 \(F(x)\) 看成单个元素的 EGF ，那么 \(\exp F(x)\) 就是这些元素组成的有标号集合。展开式的意义就是枚举元素个数并卷积拼接，由于元素无序所以要除以一个阶乘。这样就能解决一些集合计数问题。

置换计数

置换定义：有限集合到自身的双射。置换其实就是一系列环有标号生成的集合。

给出一个集合 \(S\) ，求环大小在 \(S\) 内的 \(1\sim n\) 元置换个数。

一个大小为 \(n\) 的环的排列总数为 \(n!\) ，因为环能旋转，所以等价类总数为 \((n-1)!\) 。

单个环的 EGF 为 \(\displaystyle\sum\limits_{i=1}[i\in S]\dfrac{(i-1)!x^i}{i!}\) ，然后 \(\exp\) 即可。

如果所有大小都可选， \(\displaystyle\sum_{i=1}\dfrac{(i-1)!x^i}{i!}=-\ln(1-x)\) ，\(\exp(-\ln(1-x))=\dfrac{1}{1-x}\) 。

实战演练

P4841 结论：\(n\) 点简单有标号无向连通图的方案数为 \(\ln G(x)\) ，\(G(n)=2^{\binom n2}\) .

P5162

重要结论

对于一类组合对象 \(A\) ，由 \(A\) 种元素组成的序列定义的一类组合对象 \(B\) ，其生成函数为

\[B(x)=\sum_{i=0}A(x)^i=\dfrac{1}{1-A(x)} \]

这个结论对 OGF ，EGF 均成立。

PGF

基本概述

probabilistic generating function 基于概率的生成函数

对于一个离散随机变量 \(X\in N\) ，其概率生成函数为 \(F(z)=\sum\limits_{i=0}P(X=i)z^i\) ，\(E(X)=\sum\limits_{i=0}P(X=i)i=F'(1)\) 。

可以进一步拓展到 \(E(X^{\underline k})=F^{(k)}(1)\) （以下用 \(F(x)^k\) 表示幂次，用 \(F^k(x)\) 表示求导）

方差计算式：\(\text{Var}(X)=E((X-E(X))^2)=E(X^2)-E(X)^2\) .

下面用 PGF 来描述方差。

注意到 \(X^{\underline 2}+X^{\underline 1}=X^2\) ，而 \(E(X^{\underline 2})=F''(1)\) ，有

\[F''(1)+F'(1)=\sum\limits_{i=0}i(i-1)P(X=i)+iP(X=i)=\sum\limits_{i=0}i^2P(X=i)=E(X^2) \]

所以方差就是 \(F''(1)+F'(1)-F'(1)^2\) 。

实战演练

P4548 ：典型的掷硬币模型，即进行某个游戏直到终止态，问期望。

P3706 ：上一题的多终止态版本。

HDU4652 ：终止态全部等价的版本。不过用 DP 做更方便。