网络流24题

LOJ 真好，代码公开省了我很多空间QWQ

网络流24题虽然有好题，但是也有莫名其妙的……并没有想象中那么值得一做。

提交网站挂在LOJ，倒是很建议做完之后参考一下最优解为什么跑那么快。

以下是对于题目的类型归类，加删除线的是我感觉真的不用再做的题。不过评价可能有部分基于题目顺序。

二分图匹配 ：搭配飞行员，圆桌聚餐 ，最小路径覆盖

美妙拆点 ：最长递增子序列，餐巾计划，数字梯形 ，星际转移，航空路线

美妙拆边 ：深海机器人，火星探险（和深海机器人类似，但是如果要练习输出方案可以做这个）

最小割 ：太空飞行计划，方格取数，骑士共存（与方格取数类似）

费用流 ：分配问题 ，运输问题，最长 k 可重区间集（比后面那题少了个特判） ，最长 k 可重线段集

感觉过于基础的题 ：试题库

莫名其妙不用网络流的题 ：魔术球（网络流可做，但是第一反应贪心），软件补丁（状压最短路），负载平衡（均分纸牌），孤岛营救（状压最短路），汽车加油行驶

搭配飞行员

一架飞机需要一正一副两个飞行员，给出若干对正副飞行员（表示可以同机飞行），求最多可以配多少对。

Solution

很显然的二分图匹配。让我想跑匈牙利 不你不行。

考虑一个很基础的建模：

• 建立超级源点 \(S\) ，向所有正飞行员连容量为 \(1\) 的有向边；
• 建立超级汇点 \(T\) ，向所有负飞行员连容量为 \(1\) 的有向边；
• 如果两个飞行员能搭配，那么从正飞行员向副连一条容量为 \(1\) 的有向边。

然后跑最大流即可。

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太空飞行计划

有 \(m\) 个实验，第 \(j\) 个实验用到了器材集合 \(R_j\) ，配置仪器 \(I_k\) 的费用为 \(c_k\) ，实验 \(E_j\) 有收益 \(p_j\) ，求最大的净收入。

Solution

证明 建图方式：

• 起点向实验连流量为费用的边
• 实验向仪器连流量为 INF 的边
• 仪器向终点连流量为费用的边

答案就是总费用减去最小割。对于输出方案，发现 Dinic 跑 BFS 的时候，有层次标记的点就是残量网络上还剩下的点，而一个点流完了就说明仪器的费用不比收获小，那还不如不取，所以从源点 \(s\) 开始的 BFS 之后，有标记的点就相当于选择的点。那么只需要正常执行完之后根据 \(dis\) 输出即可。

代码链接 这道题的 IO 简直是杀人……

最小路径覆盖

给定有向图 \(G\) ，设 \(P\) 是 \(G\) 的一个简单路集合，如果 \(V\) 中每个点恰好在 \(P\) 的一条路上，称 \(P\) 是 \(G\) 的一个路径覆盖。 \(P\) 中路径可以长度可以为 \(0\) . \(G\) 的最小路径覆盖是所含路径条数最少的路径覆盖。求最小路径覆盖。

Solution

奇妙的模型，拆点转化成二分图匹配。我们将每个点 \(i\) 拆成一个左部点 \(x_i\) 和一个右部点 \(y_i\) ，对于每一条边 \((i,j)\) ，连边 \((x_i,y_j)\) . 注意到二分图的任何一个匹配都对应了原图中的一个路径构造方案，如果没有匹配那么就是路径数=点数。而每增加一个匹配，就减少了一条路径，求最小路径覆盖就是要求最大匹配，跑最大流即可。

对于求方案，只需要在求出匹配之后沿着匹配边跳即可。

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魔术球

有 \(n\) 根柱子，依次放入编号为 $1,2,3,\cdots $ 的球。每次只能在顶端放，且同一根中任何两个相邻球的编号之和为完全平方数。

求最多能放多少个球。

Solution

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圆桌聚餐

有 \(m\) 个单位的代表参加会议，第 \(i\) 个单位有 \(r_i\) 个人。一共有 \(n\) 张餐桌，每张可以有 \(c_i\) 个人，且同一个单位的人不能在同一个餐桌。求一个合法的方案。

Solution

建立超级源汇，以单位为左部点，餐桌为右部点，\(S\) 向所有左部点连容量为 \(r_i\) 的边，每个左部点向所有右部点连容量为 \(1\) 的边，每个右部点向 \(T\) 连容量为 \(c_i\) 的边。跑最大流（或者说最大匹配），如果最大匹配不等于人数那么无解，否则输出方案即可。

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最长递增子序列

给定正整数序列 \(x_1\sim x_n\) ，计算其最长递增子序列的长度 \(s\) ，求方案数，并计算如果能多次使用 \(x_1,x_n\) 的方案数。

Solution

第一问：直接 \(\mathcal{O}(n^2)\) DP。

第二问：把每个点拆成 \(i,i+n\) ，然后将之间连一条 \(1\) 的边，如果 \(i\) 后面能接 \(j\) （就是 \(a[i]\leq a[j],f[i]+1=f[j]\) ），就连接 \(i+n,j\) ，\(S\) 与 \(f[i]=1\) 的点相连，\(f[i]=ans\) 的点与 \(T\) 相连， 跑最大流。

第三问：依然拆点，如果 \(i\neq 1,n\) 那么连接 \((i,i+n,1)\) ，否则是 \((i,i+n,n)\) （因为可以多次使用）；如果 \(f[i]=1\) 且 \(i\neq 1\) ，连接 \((S,i,1)\) ，如果 \(i=1\) 那么 \((S,i,n)\) ；如果 \(f[i]=ans\) ，且 \(i\neq n\) ，那么 \((i+n,T,1)\) ，如果 \(i=n\) 那么 \((i+n,T,n)\) .

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试题库

有 \(n\) 道题，\(k\) 个标签，每道有若干个标签，要求取出 \(m\) 道题使得组成的试卷包含指定类型的试题。无解 No Solution! .

Solution

\(S\) 向标签连“该类型选择题数”的边，标签向每个属于它的试题连容量为 \(1\) 的边，然后试题再连向 \(T\) 即可。

一开始脑子抽了居然以为 \(\sum k[i]\neq m\) ……

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方格取数

\(m\times n\) 的方格，每个方格有一个正整数。从中取数，使得任意两个没有公共边，且取出的数总和最大。

Solution

感觉我对最小割异常迟钝……

先对这个玩意儿黑白染色（其实就是作为左部点和右部点），然后每个黑色格子向四联通的格子连 INF 的边（不能同时选），\(S\) 向左部连点权，右部向 \(T\) 连点权，答案就是总和减去最小割，跑最大流即可。

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餐巾计划

一个餐厅在连续的 \(n\) 天里，第 \(i\) 天需要 \(r_i\) 块餐巾，新的餐巾价格为 \(P\) ，洗一块旧的餐巾需要 \(M\) 天，价格为 \(F\) ，或者用 \(N\) 天，价格为 \(S\) ，求满足需求的最小花费。

Solution

美妙费用流。考虑拆点，把一天拆成新的毛巾（买的）和旧的毛巾（洗好的）。

• 从 \(S\) 向所有干净点连费用为 \(P\) ，流量 INF 的边（购买）；
• 从干净点向 \(T\) 连费用为 \(0\) ，流量为 \(r[i]\) 的边（提供）；
• 从 \(S\) 向脏点连费用为 \(0\) ，流量为 \(r[i]\) 的边（丢出来的处理物）；
• 从脏点向 \(m\) 天后的干净点连费用为 \(F\) ，流量为 INF 的边（快洗）；
• 从脏点向 \(n\) 天后的干净点连费用为 \(s\) ，流量为 INF 的边（慢洗）；
• 从脏点往下一个脏点连费用为 \(0\) ，流量为 INF 的边。

跑费用流即可。

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软件补丁

有 \(n\) 个错误和 \(m\) 个补丁，对于每个补丁，当且仅当错误包含 \(B_1(i)\) 中的所有错误，不包含 \(B_2(i)\) 的任何错误时可以使用，效果是修复错误集合 \(F_1(i)\) ，加入错误集合 \(F_2(i)\) ，每个补丁有耗时。求没有错误的最小耗时。

Solution

\(\huge \color{yellowgreen}{去你的网络流24题}\)

这明明是状压最短路……

\(n\leq 20,m\leq 100\) ，所以可以直接把 \(20\) 位压成一个状态，表示当前有哪些错误。从 \(2^n-1\) 开始，跑最短路，每次枚举有哪些补丁可以用即可。

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数字梯形

给定一个 \(n\) 行数字组成的数字梯形，第一行有 \(m\) 个数字。分别求出满足以下规则的最大总和：

1. 从顶至底 \(m\) 条路径互不相交
2. 从顶至底 \(m\) 条路径仅在节点处相交
3. 从顶至底 \(m\) 条路径仅在节点处或边相交

Solution

第一问：每个点拆成两个点 \(X,Y\) ，容量为 \(1\) ，费用为这个数，每个点的 \(Y\) 向能到达的 \(X\) 点连边。\(S\) 向第一层的 \(X\) 连边，最后一层的 \(Y\) 向 \(T\) 连边，容量为 \(1\) ，费用为 \(0\) ，跑最大费用最大流。

第二问：不拆点，直接连边，但是最后一层的点直接连 \(T\) ，容量为 INF ，费用为这个数。

第三问：直接选，没有限制，相当于所有边的容量都是 INF。

好好的问题偏要 \(3\) 个一起来增加码量 (ノ｀Д)ノ

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运输问题

有 \(m\) 个仓库和 \(n\) 个零售店，第 \(i\) 个仓库有 \(a_i\) 的货物，第 \(j\) 个零售店需要 \(b_j\) 的货物，供需平衡。从第 \(i\) 个仓库运送一单位货物到第 \(j\) 个零售店需要 \(c_{i,j}\) 的费用，求满足供需的最少费用。

Solution

最小费用最大流。

• \(S\) 向 \(m\) 个仓库连流量为 \(a_i\) ，费用为 \(0\) 的边
• \(m\) 个仓库向 \(n\) 个零售店连流量为 INF ，费用为 \(c_{i,j}\) 的边
• \(n\) 个零售店向 \(T\) 连流量为 \(b_j\) ，费用为 \(0\) 的边。

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分配问题

有 \(n\) 件工作要分配给 \(n\) 个人做。第 \(i\) 个人做第 \(j\) 件工作产生的效益为 \(c_{i,j}\) 。试设计一个将 \(n\) 件工作分配给 \(n\) 个人做的分配方案，使产生的总效益最大。

Solution

上一题的简化版。把所有流量改成 \(1\) 即可。

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负载平衡

有 \(n\) 个环形排列的仓库，每个都有一定的货物。求最少的搬运量使得库存相同（只能在相连间搬运）。

Solution

均分纸牌裸题。

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最长 k 可重区间集

给定 \(n\) 个开区间的集合 \(I\) 和一个正整数 \(k\) ，从中选取开区间集合 \(S\subseteq I\) ，所得实直线 \(L\) 的任何一点 \(x\) ，\(S\) 中包含 \(x\) 的开区间个数不超过 \(k\) ，且 \(\sum_{z\in S}|z|\) 最大。求最大值。

Solution

显然并不是所有点都有用，只需要保留所有端点即可。所以首先要离散化，这样点的个数至多为 \(2n\) .

每个点向下一个点连边，容量为 \(k\) ，费用为 \(0\) 。对于每个区间 \(l,r\) ，从 \(l\) 向 \(r\) 连容量为 \(1\) ，费用为区间长度的边。最后，\(S\) 向第一个点连容量为 \(k\) ，费用为 \(0\) 的边限流，最后一个点向 \(T\) 同理，直接跑最大费用最大流即可。

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星际转移

有 \(n\) 个点和 \(m\) 条船，每条船有容量 \(H_i\) ，一次行驶费用为 \(1\) ，且周期性停靠一系列点。求从 \(S\) 到 \(T\) 最大流至少为 \(k\) 的最小费用。

Solution

哦这该死的周期没法下手。所以只能一天一天来。这样就需要枚举答案。

其实枚举答案不需要二分。如果逐个枚举能够在原先的残量网络上加边，二分要重新建图，效率反而不如直接枚举。

但是这样对于“周期”还是没法连边，所以考虑拆点，把一个点按“点+秒数”拆开，然后随着枚举的答案新建对于新的一秒的一套点。

源点 \(S\) 向所有时间点的起点连容量为 INF，费用为 \(0\) 的边；同理，所有时间的终点向 \(T\) 连容量为 INF ，费用为 \(0\) 的边。

每个点向下一秒的自己连容量为 INF ，费用为 \(0\) 的边。

对于每一艘船，（如果停靠在了当前点）向下一秒的下一个点连容量为 \(H_i\) ，费用为 \(1\) 的边。

然后每次跑最小费用最大流即可。注意，这里的终点流量是至少为 \(k\) .

一点点小优化：由于我们已经枚举了答案，其实并不需要跑费用流，直接最大流就好了我不对劲

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孤岛营救

有一个 \(n\times m\) 的方格，四个方向上相邻的两个单元格可能互通，可能有锁，可能不相通。有一些单元格中有钥匙。所有门分为 \(P\) 类，打开同一类的钥匙相通，不同类的钥匙可能不同。求从 \((1,1)\) 到 \((n,m)\) 的最小时间，移动一格速度为 \(1\) .

Solution

看到题完全不知道怎么网络流，数据范围很小倒是可以暴搜。真就不是网络流啊草 我还期待着有什么高妙建模呢TNT

直接状压钥匙，最短路就好了……

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航空路线

给定一张航空图，图中顶点代表城市，边代表直通航线，找出一条满足条件且途径城市最多的旅行路线。

1. 从最西端城市出发，单向从西向东途经若干城市到达最东端城市，然后再单向从东向西飞回起点（可以途径）
2. 除起点外所有城市只能访问一次

求出答案和路线。

Solution

拆点。对于两个拆分后的点，连 \(x_1\to x_2\) ，流量为 \(1\) ，费用为 \(1\) 的边，除了起点和终点流量为 \(2\) . 对于原图的边直接连出点和入点即可。当最大流等于 \(2\) 时，最大花费减去 \(2\) 就是经过的最大节点数。注意特判 \(1\to n\) .

输入字符串是真的一点都不想写……

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汽车加油行驶

题面太长了自己看。

Solution

？\(100\times 100\) 的网格图让我跑网络流？不存在的。这垃圾24题到底是谁出的啊。

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深海机器人

给定一张带边权的网格图和多个机器人（及其出发点和目标），每个人都向东或向北走，位置可以重合。每个边权由第一次经过的人拿走，计算最优方案下能获得的最大边权。\(P,Q\leq 15\) .

Solution

写出数据范围就是要说明，极其小的网格图也是能跑网络流的（

终于出现了一道拆边题QWQ。显然，每条边都能经过无数次，但每条边都只能有一次贡献，那么可以拆成容量为 \(1\) 费用为边权的边，和一条容量 INF 费用为 \(0\) 的边。

拆完之后，多起点多终点，分别连 \(S\) 和 \(T\) ，跑最大费用最大流即可。

如果你 WA9 了不妨看看输入输出，挺坑人的。

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火星探险

在上一题中增加障碍物的限制，固定起点和终点，并且一定要全部到达。

Solution

？？？无聊。

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骑士共存

给定一个 \(n\times n\) 的棋盘，有障碍，计算最多能放置几个互不攻击的马。

Solution

和方格取数类似，注意到能相互攻击的马一定是不同色的格子上的。

黑白染色之后，对于所有黑色点，向 \(8\) 联通的格子连容量为 INF 的边，\(S\) 向黑色点连容量为 \(1\) 的边，白色点向 \(T\) 连容量为 \(1\) 的边，跑最小割即可。

为什么 \(200\times 200\) 的网格图能跑网络流啊……不懂了哦，诶。

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最长 k 可重线段集

给定平面 \(\text{xoy}\) 上 \(n\) 个开线段组成的集合 \(I\) 和一个正整数 \(k\) ，从中选出 \(S\in I\) 使得在 \(x\) 轴上任意一点 \(p\) ，\(S\) 中与 \(x=p\) 相交的开线段个数不超过 \(k\) ，且长度和最大。

Solution

？这和“最长 k 可重区间集”有区别吗？并没有。

不过是当线段平行于 \(y\) 轴的时候会出现自环，所以要先 \(\times 2\) 然后再判断，最后离散化。

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