【题解】UOJ61. 【UR #5】怎样更有力气
Statement
给定一棵 \(n\) 点树 \(T\) 和 \(m\) 个操作 v u w ：
- 在 \(T\) 中 \(u,v\) 的最短路上所有点里面选出若干对（可以不选，可以重复），在每一对之间加边，花费为 \(w\) .
- 有 \(p\) 个限制
t a b，表示第 \(t\) 次不能在 \(a,b\) 之间加边，保证 \(a,b\) 在 \(u,v\) 的路径上且无重复。
求所有加的边形成 \(n\) 点连通图的最小代价。 \(n,m,p\leq 3e5\) .
Solution
一开始看错题了
一个显然的想法是，把每一天按照 \(w\) 升序，然后每次尽可能多地合并连通块。
有一个显然的性质： 对于第 \(i\) 天，设当天有 \(num\) 个限制，如果 \(dis(u,v)>num\) ，那么这一条路径上的所有点之间都能连通，且必须连通
Proof
长度是 \(dis(u,v)\) ，点数就是 \(dis(u,v)+1\) .既然 \(dis(u,v)\) 比 \(num\) 大，那么就算一个点包揽了 \(num\) 个限制，也至少能向一个点连边，这样就一定可以使得路径上所有点连通。而由于我们是将每一次操作按 \(w\) 升序的，所以这一次将它连边一定不会比后面再做劣，因此这种情况下，第 \(i\) 次做完之后一定是 \(path(u,v)\) 全部连通。
那么对于满足这个性质的情况，直接连就好了，反正连完就是同一个连通块。（网上题解为啥说的是能直接连边啊……虽然是等价的）
现在来考虑 \(dis(u,v)\leq num\) 的情况。
首先，对于 \(t\) 的所有限制，建立一个子图 \(g\) ，并暴力把 \(u\to v\) 路径上的所有点都存下来，设为 \(path[]\) .令 \(t\) 的限制个数为 \(k\) .
然后，选取一个度数最小的点 \(x\) ，将路径上的点集分成两类：\(V_1\) 中的点在限制子图中和 \(x\) 相邻，\(V_2\) 反之。
显然，对于 \(V_2\) 的点，直接和 \(x\) 连边就好了。
对于 \(V_1\) 中的点 \(y\) ，如果 \(deg[y]<|V_2|\) （这里的度数是和 \(V_2\) 的度数），那么至少能和 \(V_2\) 中一个点连边，直接加边即可。复杂度 \(\mathcal{O}(\sum_y deg[y])=\mathcal{O}(k)\) .
否则，暴力枚举 \(V_1\) 中的点，尝试两两连边。由于度数最小所以 \(deg[x]\) 是根号级别的，复杂度 \(\mathcal{O}(k)\) .
所以总体复杂度是 \(\mathcal{O}(n\log n)\) （同级复杂度），瓶颈在于排序。
Code
//Author: RingweEH
const int N=3e5+10;
struct Date
{
int u,v,w,t;
bool operator < ( const Date &tmp ) const { return w<tmp.w; }
}a[N];
struct DSU
{
int fa[N];
int find( int x ) { return x==fa[x] ? x : fa[x]=find(fa[x]); }
DSU() { for ( int i=1; i<=N-10; i++ ) fa[i]=i; }
}D1,D2;
int n,m,k,fa[N],dep[N];
ll ans=0;
bool vis[N];
vector<Date> restr[N];
vector<int> g[N];
stack<Date> sta;
bool Check_Length( int u,int v,int num ) //判断dis(u,v)的长度和限制个数的大小关系
{
while ( num-- )
{
if ( dep[u]>dep[v] ) swap( u,v );
v=fa[v];
if ( u==v ) return 0;
}
return 1;
}
void Merge( int u,int v,int w )
{
u=D2.find( u ); v=D2.find( v );
if ( u!=v ) D2.fa[v]=u,ans+=w;
}
void Add( int u,int v )
{
g[u].push_back( v ); g[v].push_back( u );
Date tmp; tmp.u=u; tmp.v=v; tmp.w=tmp.t=0; sta.push( tmp );
}
void Clear( int u=0,int v=0 )
{
while ( !sta.empty() )
{
u=sta.top().u; v=sta.top().v; sta.pop();
g[u].clear(); g[v].clear();
}
}
int path[N],lenth;
void Get_Path( int u,int v )
{
lenth=0; bool fl=0;
do
{
fl=(u==v);
if ( dep[u]>dep[v] ) swap( u,v );
path[++lenth]=v; v=fa[v];
} while ( !fl );
}
int main()
{
n=read(); m=read(); k=read();
for ( int i=2; i<=n; i++ )
fa[i]=read(),dep[i]=dep[fa[i]]+1;
for ( int i=1; i<=m; i++ )
a[i].u=read(),a[i].v=read(),a[i].w=read(),a[i].t=i;
for ( int i=1,u,v,t; i<=k; i++ )
t=read(),u=read(),v=read(),restr[t].push_back( (Date){u,v,0,0} );
sort( a+1,a+1+m );
for ( int i=1; i<=m; i++ )
{
int u=a[i].u,v=a[i].v,w=a[i].w,t=a[i].t;
if ( Check_Length(u,v,restr[t].size()) ) //满足性质
{
u=D1.find( u ); v=D1.find( v );
while ( u^v )
{
if ( dep[u]>dep[v] ) swap( u,v );
Merge( v,fa[v],w ); D1.fa[v]=fa[v]; v=D1.find( v );
}
}
else
{
for ( Date j : restr[t] )
Add( j.u,j.v ); //对于限制建子图
Get_Path( u,v ); int mn=path[1];
for ( int j=2; j<=lenth; j++ ) //找度数最小的点
if ( g[path[j]].size()<g[mn].size() ) mn=path[j];
for ( int j : g[mn] ) //标记相邻点
vis[j]=1;
for ( int j=1; j<=lenth; j++ ) //x & V2
if ( !vis[path[j]] ) Merge( mn,path[j],w );
for ( int j : g[mn] )
{
int sum=0;
for ( int p : g[j] )
sum+=vis[p];
if ( g[j].size()-sum-1<lenth-g[mn].size()-1 ) Merge( j,mn,w );
//deg[y]<|V2|
}
for ( int j : g[mn] )
vis[j]=0;
for ( int j : g[mn] )
{
for ( int p : g[j] )
vis[p]=1;
for ( int p : g[mn] ) //V1中两两尝试连边
if ( !vis[p] ) Merge( j,p,w );
for ( int p : g[j] )
vis[p]=0;
}
Clear();
}
}
printf( "%lld\n",ans );
return 0;
}
