分治法

分治法

把大问题化成小问题逐个解决，可以优化算法复杂度（局部的优化有利于全局，一个问题的解决，其影响力扩大了k倍，即扩大到了全局）。

• 归并排序

（1）分解：把原来无序的数列分成两部分，对每个部分再继续分解成更小的两部分，直到子序列只包含1个数，这个过程用递归实现（在归并排序中，只是简单地把数列分成两半，在快速排序中，是把序列分成左右两部分，左部分元素都小于右部分的元素）

（2）求解子问题。

（3）合并：合并两个有序的子序列。

和交换排序相似，但合并两个有序的子序列是有序的，因此效率更高。

归并排序的时间复杂度为O（nlog2n），空间复杂度为O（n）。

 图解释得很清楚，就是比较两个子序列，得到的数存到另一个数组里。（とても簡単です）

 

排序是竞赛中的常用功能，一般直接使用STL的sort()函数，并不需要自己再写一个排序的程序。不过也有一些特殊的问题，需要写出程序，并在程序内部做一些处理，例如逆序对问题。

 

放题：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=4911

 

 k=0直接暴力求有多少个逆序对，然后你就快快乐乐地TLE了。

在子序列里元素都是有序的，不存在逆序对，逆序对只存在于不同的子序列之间。

如果前一个子序列元素比后面元素大，就会产生逆序对。（注意产生的逆序对个数不止一个：cnt+=mid-i+1）

在所有相邻数中，只有交换那些逆序的才会影响逆序对的数量。设原始序列有cnt个逆序对：

当k不等于0时，又分两种情况：

（1）cnt<=k，总逆序对交换次数<k，那么最少的逆序对数量为0.

（2）cnt>k，k次交换都发生在逆序的相邻数上，那么剩余的逆序对是cnt-k。

 

放代码：

#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;

const int N=1e5+5;
typedef long long ll;
ll a[N],b[N],cnt;

void merge(ll l,ll mid,ll r){
    ll i=l,j=mid+1,t=0;
    while(i<=mid&&j<=r){
        if(a[i]>a[j]){
            b[t++]=a[j++];
            cnt+=mid-i+1;
        }
        else b[t++]=a[i++];
    }
    while(i<=mid){
        b[t++]=a[i++];
    }
    while(j<=r){
        b[t++]=a[j++];
    }
    for(i=0;i<t;i++){
        a[l+i]=b[i];
    }
}

void mergesort(ll l,ll r){
    if(l<r){
        ll mid=(l+r)>>1;
        mergesort(l,mid);
        mergesort(mid+1,r);
        merge(l,mid,r);
    }
}

int main(){
    ll n,k;
    while(~scanf("%lld%lld",&n,&k)){
        cnt=0;
        for(ll i=0;i<n;i++){
            scanf("%lld",&a[i]);
        }
        mergesort(0,n-1);
        if(cnt<=k)
        printf("0\n");
        else
        printf("%I64d\n",cnt-k);
    }
    return 0;
}

 

逆序对除了可以用归并，还可以用树状数组求解......这个东西就放在以后再说吧！

 

• 快速排序

        把序列分为左右两部分，使左边所有的数都小于右边的数，递归，直到不能再分为止。定一个基准数t，若a[i]>=a[t]，i++。若a[i]<a[t]，交换a[i]和a[j]，然后i++，j++，最后交换a[j]和a[t]，得到结果。

 

补充：关于快排不稳定的问题

快排的每一次划分都把序列分成了左右两部分，在这个过程中，需要比较所有的元素，有O(n)次。如果每次划分都是对称的，也就是说左右两部分长度差不多，那么一共需要划分O（log2n）次。总复杂度为O（nlog2n）。

如果划分不是对称的，左部分和右部分的数量差别很大，那么复杂度就会高一些。比如左部分只有一个数，剩下的数都在右部分，那么最多可能划分n次，总复杂度是O(n^2)。所以快速排序是不稳定的。当测试数据故意卡快排的极端情况，例如测试数据是100000个完全一样的数字，就会超时了。

不过一般情况下快速排序效率很高，甚至比稳定的归并排序更好。

 

应用：求第k大数问题，递归包含第k个数的那部分就行了。

 练习题：

https://www.luogu.com.cn/problem/P1177

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1425求前k大的数

http://poj.org/problem?id=2388求中间数

（sort用法之前的博客已经写过咯）

 

EOF