[CF1753C]Wish I Knew How to Sort

做题时间：2022.10.25

$【题目描述】$

给定一个长度为 $n$ 的01序列 $a$ 和一种操作，你需要用这种操作将序列从小到大排序。操作为：等概率随机选择两个位置 $i,j(i<j)$，若 $a_i>a_j$，则交换 $a_i$ 和 $a_j$（当 $a_i\leq a_j$，交换失败也算一次操作）

求出执行操作的期望次数，对 $998244353$ 取模

$【输入格式】$

第一行一个整数 $T$ 表示数据组数

每组数据第一行一个整数 $n$ 表示序列长度

接下来一行 $n$ 个整数表示序列 $a$

$【输出格式】$

对于每组数据，输出一行一个整数表示答案

$【考点】$

期望、概率

$【做法】$

最终单调不降的目标序列肯定是 00...00111...111，交换过程就是以中间的 $0$ 和 $1$ 为分界线，左边的 $1$ 全部移动到右边，右边的 $0$ 全部移动到左边，根据期望线性性质，我们可以单独考虑每一次操作，最后将每次操作的期望值加起来即可。

设当前分界线左边有 $i$ 个 $1$，则分界线右边会有 $i$ 个 $0$，交换一次左边的 $1$ 和右边的 $0$ 的概率为：

$$\frac{i^2}{\binom{n}{2}}$$

而期望是概率的倒数，因此最终我们要求的便是：

$$\sum\limits_{i=1}^k \frac{\binom{n}{2}}{i^2}$$

其中 $k$ 是一开始分界线左边的 $1$ 数量（右边的 $0$ 数量）

$【代码】$

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=2e5+50;
const ll mod=998244353;
int n,a[N],cnt,k,t;
ll Pow(ll a,ll b)
{
    ll ans=1ll,base=a%mod;
    while(b){
        if(b&1) ans*=base,ans%=mod;
        base*=base,base%=mod;
        b>>=1;
    }
    return ans;
}
void Wish()
{
    cnt=0,k=0;
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%lld",&a[i]),cnt+=(a[i]==0);//计算分界线
    for(int i=1;i<=cnt;i++){
        if(a[i]) k++;
    }
    ll ans=0;
    for(int i=1;i<=k;i++){//计算答案
        ans+=1ll*n*(n-1)%mod*Pow(2ll*i*i,mod-2)%mod;
        ans%=mod;
    }
    printf("%lld\n",ans);
}
int main()
{
    scanf("%d",&t);
    while(t--) Wish();
    return 0;
}