[CF1699C]The Third Problem

做题时间：2022.7.12

$【题目描述】$

给定一个长度为 $N(N\leq 10^5)$ 的排列 $a_i$ ，其中的数包括 $[0,n-1]$ ，求出有多少个排列 $b_i$ 满足对于 $\forall l,r,1\leq l\leq r\leq N$ ，满足：

$$\operatorname{MEX}([a_l,a_{l+1},\ldots,a_r])=\operatorname{MEX}([b_l,b_{l+1},\ldots,b_r]),$$

其中 $\operatorname{MEX}([c_1,c_2,...,c_k])$ 表示在序列 $[c_1,c_k]$ 中未出现的最小非负整数。

$【输入格式】$

第一行一个整数 $T$ 表示数据组数
每组数据第一行一个整数表示 $N$
每组数据第二行 $N$ 个整数表示 $a$

$【输出格式】$

共 $T$ 行，每行一个整数表示答案

$【考点】$

组合数学

$【做法】$

一开始没有什么头绪，可以从小开始枚举寻找规律。

定义 $p_i$ 表示数字 $i$ 在 $a$ 中的下标。考虑0的位置，因为 $\operatorname{MEX}\{a_{p_{0}}\}=1$ ，因此 $b$ 中0的位置也是 $p_0$ （可以发现样例也是如此）

考虑1的位置，假设其在0的右边（可以发现在左边和右边的情况是相似的），即 $p_1>p_0$ ， $\operatorname{MEX}\{a_{p_0}\cdots a_{p_1}\}\geq 2$ ，我们可以发现 $b$ 中的 1 必定在 $p_0$ 与 $p_1$之间，共有 $(p_1-p_0)$ 种选择（ $p_0$ 不能选 ）

那么对于2而言，当它处在0与1之间的时候， 序列 $a$ 即为 $[\cdots0\cdots2\cdots1\cdots]$ ， $\operatorname{MEX}\{a_{p_0}\cdots a_{p_0}\}\geq 3$ ，对应地： $\operatorname{MEX}\{b_{p_0}\cdots b_{p_1}\}\geq 3$ ，也就是说2必定在 $p_0$ 与 $p_1$ 之间，共有 $(p_1-p_0-1)$ 种选择（ $p_0$ 及 $p_1$ 都不能选 ）；当它处在0与1之外的时候，序列 $a$ 即为 $[\cdots 2\cdots 0\cdots 1\cdots]$ 或 $[\cdots 0\cdots 1\cdots 2\cdots]$ 此时 $\operatorname{MEX}\{a_{p_2},......,a_{p_0}\}=1$ 或 $\operatorname{MEX}\{a_{p_1},......,a_{p_2}\}=0$ ，2在 $b$ 中的位置仅能为 $p_2$

然后枚举3,4...懒得写了

到这里我们可以发现规律了，除了0之外，第 $k$ 个数若在 $0$ 至 $k-1$ 组成的区间中，那么它就有 $(r-l-k)$ 种选择（如果你看不出来，可以参考其他大佬的思路），若不在，说明只有一种情况。最后把这些情况全部乘在一起即可。

$【代码】$

#include<cstdio>
#include<iomanip>
 
using namespace std;
const int N=1e5+50,MOD=1e9+7;
int a[N],pos[N],n,t;
int main()
{
	scanf("%d",&t);
	while(t--){
		scanf("%d",&n);
		for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]),pos[a[i]]=i;
		int l=pos[0],r=pos[0];
		long long ans=1;
		for(int i=1;i<n;i++){
			if(pos[i]<l) l=pos[i];
			else{
				if(pos[i]>r) r=pos[i];
				else ans*=(long long)(r-l+1-i),ans%=MOD; 
			}
		}
		printf("%lld\n",ans%MOD);
	}
	return 0;
}