[NOI2013]矩阵游戏

做题时间：2022.7.4

$【题目描述】$

给定正整数 $a,b,c,d(a,b,c,d\leq 10^9)$ ，有一个 $n$ 行 $m$ 列（ $1\leq n,m\leq 10^{1000000}$ ）的矩阵 $F$ ，满足：

$$F_{1,1}=1$$

$$F_{i,j}=a\cdot F_{i,j-1}+b(j\neq 1)$$

$$F_{i,1}=c\cdot F_{i-1,m}+d(i\neq 1)$$

求 $F_{n,m}\mod 10^9+7$ 的值。

$【输入格式】$

一行 $n,m,a,b,c,d$

$【输出格式】$

一行一个数表示 $F_{n,m}\mod 10^9+7$

$【考点】$

矩阵快速幂，欧拉函数

$【做法】$

看数据范围可知要使用矩阵快速幂，同时递推式表明用第二个式子确定好当前行第1列的数字后，第m列的数字即可用第一个式子套矩阵快速幂快速求出，而下一行第1列的数字又和这一行第m列有关， 因此可以考虑将两个式子合并 。

1. 第一个式子：

$$\begin{bmatrix} F_{i,j-1} \\ 1 \\ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} a & b\\ 0 & 1 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} F_{i,j}\\ 1 \end{bmatrix}$$

就有：

$$\begin{bmatrix} F_{n,m} \\ 1 \\ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} a & b\\ 0 & 1 \end{bmatrix}^{m-1}= \begin{bmatrix} F_{n,1}\\ 1 \end{bmatrix}$$

这里我们发现，不能直接求出的 $F_{n,1}$ 可以用第二个式子带入。

2. 第二个式子：

$$\begin{bmatrix} F_{i-1,m} \\ 1 \\ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} c & d\\ 0 & 1 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} F_{i,1}\\ 1 \end{bmatrix}$$

就有：

$$\begin{bmatrix} F_{1,m} \\ 1 \\ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} c & d\\ 0 & 1 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} F_{n,1}\\ 1 \end{bmatrix}$$

这里我们发现，第一个式子中不能直接求出的 $F_{n,1}$ 可以用第二个式子带入，得到：

$$\begin{bmatrix} F_{1,m} \\ 1 \\ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} c & d\\ 0 & 1 \end{bmatrix}^{n-1} \cdot \begin{bmatrix} a & b\\ 0 & 1\\ \end{bmatrix}^{m-1}= \begin{bmatrix} F_{n,1}\\ 1 \end{bmatrix}$$

这个式子中不能直接求出的 $F_{1,m}$ 又可以带回第一个式子，得到：

$$\begin{bmatrix} f_{1,1}\\ 1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} a & b\\ 0 & 1 \\ \end{bmatrix}^{2m-2} \cdot \begin{bmatrix} c & d\\ 0 & 1 \end{bmatrix}^{n-1} \cdot = \begin{bmatrix} F_{n,1}\\ 1 \end{bmatrix}$$

直接用矩阵快速幂即可。

对于输入而言，根据欧拉定理：

$$a^x\equiv a^{x\mod \phi(p)} \pmod p$$

我们用字符串读入$n,m$ ，然后直接对 $\phi(10^9+7)=10^9+6$ 取余即可。

注意 ：在 $a=1$ 时，原来作为底数的矩阵主对角线均为1，相当于数字1，此时欧拉定理不适用，不能模 $\phi(p)$ 而应当模 $p$

$【代码】$

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iomanip>
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll phi=1e9+6,N=1e6+50,MOD=1e9+7;
struct Matrix{
	ll a[3][3];
	Matrix(){memset(a,0,sizeof(a));}
	Matrix operator *(const Matrix x){
		Matrix ans;
		
		for(int i=1;i<=2;i++){
			for(int j=1;j<=2;j++){
				for(int k=1;k<=2;k++){
					ans.a[i][j]=(ans.a[i][j]+a[i][k]*x.a[k][j]%MOD)%MOD;
				}
			}
		}
		return ans;
	}
}A1,A2,A3;
char nn[N],mm[N];
ll a,b,c,d,n,m;
void Pre()//字符串转化为数字 
{
	int lenn=strlen(nn+1);
	int lenm=strlen(mm+1);
	ll pow=1;
	for(int i=lenn;i>=1;i--){
		n=(n+pow*(nn[i]-48));
		pow*=10;
		if(a==1) n%=MOD,pow%=MOD;//特判底数矩阵为1的情况 
		else n%=phi,pow%=phi;
	}
	pow=1;
	for(int i=lenm;i>=1;i--){
		m=(m+pow*(mm[i]-48));
		pow*=10;
		if(a==1) m%=MOD,pow%=MOD;
		else m%=phi,pow%=phi;
	}
}
Matrix FastPow(Matrix x,ll b)//矩阵快速幂 
{
	Matrix ans;
	ans.a[1][1]=ans.a[2][2]=1;
	while(b){
		if(b&1) ans=ans*x;
		x=x*x;
		b>>=1;
	}
	return ans;
}
int main()
{
	scanf("%s%s",nn+1,mm+1);
	scanf("%lld%lld%lld%lld",&a,&b,&c,&d);
	Pre();
	A1.a[1][1]=A1.a[1][2]=1;
	A2.a[1][1]=a,A2.a[1][2]=0,A2.a[2][1]=b,A2.a[2][2]=1;
	A3.a[1][1]=c,A3.a[1][2]=0,A3.a[2][1]=d,A3.a[2][2]=1;
	//赋初值 
	
	Matrix x=FastPow(A2,(2*m-1)%phi);
	Matrix tmp=FastPow(A2,(m-1)%phi)*A3;
	
	Matrix ans=A1*FastPow(tmp,(n-1)%phi)*FastPow(A2,(m-1)%phi);
	printf("%lld\n",ans.a[1][1]%MOD);
	return 0;
}