CF1338C Perfect Triples 题解

解题思路

没什么好说的，就是打表找规律……

表在这里

不难发现，三元组中第一个数的最后两位按照 $00\to 01\to 10\to 11$ 的顺序变化，其他位也一样，同样，第二个数和第三个数中每两位分别按照 $00\to 10\to 11\to 01$ 和 $00\to 11\to 01\to 10$ 的顺序变化，且与第一个数对应变化。那么只要我们第一个数确定了，第二个和第三个数也就确定了，因此，我们的问题变为了如何快速确定第一个数。

观察发现，当 $n=4^k$ 且 $k\in \mathbb{Z}$ 时，三元组第一个数为 $n$。并且可以看出，在第一个数为 $4^k\sim 2^{2\times k}-1$ 的连续若干个三元组中，第一个数是连续的，即分别为 $4^k,\dots ,2^{2\times k}-1$。由此，我们可以找到第一个小于等于 $n$ 的 $x$ 使得 $x=4^k$ 且 $k\in \mathbb{Z}$，那么 $n$ 所在三元组的第一个数即为 ${\displaystyle 2^k+\frac{n-2^k}{3}}$。

综上，本题步骤为：

• 找到第 $n$ 个数所在三元组的第一个数；
• 令第一个数为 $m$，我们将 $m$ 转化为二进制，并将其位数补为偶数；
• 根据 $m$ 从最高位开始，每两位为一组，计算出对应的第 $2$、$3$ 个数的这两位；
• 将第 $2$、$3$ 个数转化位十进制下整数；
• 判断 $M=nmod3$ 并输出，若 $M=1$，输出第一个数，若 $m=2$，输出第二个数，否则输出第三个数。

AC 代码

#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#include<string>
#include <string.h>
#define int long long
#define N 100
int n,m;char a[N],b[N],c[N];
inline int GetStr(int x,char *s){
    int ce=0;while(x){
        s[++ce]='0'+(x&1);
        x>>=1;
    }return ce&1?ce+1:ce;
}
inline void GetNum(int &x,char *s,int len){
    x=0;for(register int i=len;i>=1;--i)
        x=(x<<1ll)+(s[i]-'0');
}
inline void work(){
    scanf("%lld",&n);int lin;
    for(register int i=60ll;i>=0ll;--i)
        if((n>>i)&1ll){
            m=i&1ll?i-1ll:i;
            lin=m;break;
        }
    int sub=(1ll<<m),res=(n-sub)/3ll;
    m=sub+res;int _1=m,_2,_3;
    for(register int i=1;i<=80;++i)
        a[i]='0';int ce=GetStr(m,a);
    for(register int i=ce;i>=1;i-=2){
        if(a[i]=='0'&&a[i-1]=='0'){
            b[i]='0',b[i-1]='0';
            c[i]='0',c[i-1]='0';
        }else if(a[i]=='0'&&a[i-1]=='1'){
            b[i]='1',b[i-1]='0';
            c[i]='1',c[i-1]='1';
        }else if(a[i]=='1'&&a[i-1]=='0'){
            b[i]='1',b[i-1]='1';
            c[i]='0',c[i-1]='1';
        }else if(a[i]=='1'&&a[i-1]=='1'){
            b[i]='0',b[i-1]='1';
            c[i]='1',c[i-1]='0';
        }
    }GetNum(_2,b,ce),GetNum(_3,c,ce);
    if(n%3==0) printf("%lld\n",_3);
    else if(n%3==1) printf("%lld\n",_1);
    else printf("%lld\n",_2);
}
signed main(){
    int T;scanf("%lld",&T);
    while(T--) work();
    system("pause");
}